Формула площади необходима для определения площадь фигуры, которая является вещественнозначной функцией, определённой на некотором классе фигур евклидовой плоскости и удовлетворяющая 4м условиям:
Формулы площади геометрических фигур.
Геометрическая фигура
Формула
Чертеж
Результат сложения расстояний между серединами противоположных сторон выпуклого четырехугольника будут равна его полупериметру.
Сектор круга.
Площадь сектора круга равна произведению его дуги на половину радиуса.
Сегмент круга.
Чтобы получить площадь сегмента ASB, достаточно из площади сектора AOB вычесть площадь треугольника AOB.
Площадь эллипса равна произведению длин большой и малой полуосей эллипса на число пи.
Эллипс.
Еще один вариант как вычислить площадь эллипса – через два его радиуса.
Треугольник. Через основание и высоту.
Площадь треугольника равна половине произведения длины стороны треугольника на длину проведенной к этой стороне высоты.
Треугольник. Через две стороны и угол.
Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон, умноженного на синус угла между ними.
Треугольник. Формула Герона.
Площадь треугольника можно определить при помощи формулы Герона.
Треугольник. Через радиус вписанной окружности.
Площадь треугольника равна произведения полупериметра треугольника на радиус вписанной окружности.
Треугольник. Через радиус описанной окружности.
Площадь треугольника можно определить по радиусу описанной окружности.
Треугольник.
Площадь прямоугольного треугольника.
Треугольник.
Площадь прямоугольного треугольника через вписанную окружность.
Треугольник.
Формула Герона для прямоугольного треугольника.
Треугольник.
Площадь равнобедренного треугольника.
Трапеция.
Площадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований на высоту.
Ромб. По длине стороны и высоте.
Площадь ромба равна произведению длины его стороны и длины опущенной на эту сторону высоты.
Ромб. По длине стороны и углу.
Площадь ромба равна произведению квадрата длины его стороны и синуса угла между сторонами ромба.
Ромб.
Формула площади ромба по длинам его диагоналей.
Формула площади круга через его радиус и диаметр.
Квадрат. Через его сторону.
Площадь квадрата равна квадрату длины его стороны.
Квадрат. Через его диагонали.
Площадь квадрата равна половине квадрата длины его диагонали.
Правильный многоугольник.
Для определения площади правильного многоугольника необходимо разбить его на равные треугольники, которые бы имели общую вершину в центре вписанной окружности.
Сфера.
Площадь поверхности сферы равна учетверенной площади большого круга.
Площадь поверхности куба равна сумме площадей шести его граней.
Конус.
Боковая площадь поверхности круглого конуса равна произведению половины окружности основания (C) на образующую (l).
Усеченный конус.
Боковая площадь поверхности усеченного конуса.
Цилиндр.
Площадь боковой поверхности круглого цилиндра.
Сегмент шара.
Площадь поверхности шарового сегмента равняется произведению его высоты на окружность большого круга шара.
Поверхность шарового слоя.
Кривая поверхность шарового слоя равна произведению его высоты на окружность большого круга шара.
тогда `sinM=sqrt(1-64/(210))=(sqrt(146))/(sqrt(14)*sqrt(15))` и по формуле (2):
тогда `R=(KL)/(2sinM)=ul((sqrt(13)*sqrt(14)*sqrt(15))/(2*sqrt(146)))=(sqrt(13)*sqrt7*sqrt(15))/(2*sqrt(73))` (точно также по формуле 5).
Сравнение площадей треугольников обычно опирается на одно из следующих утверждений:
$$ 2.<1>^<○>$$. Площади треугольников с одинаковой высотой относятся как длины соответствующих оснований. В частности, если точка `D` лежит на основании `AC` (рис. 6а), то
$$ 2.<2>^<○>$$. Площади треугольников с общим углом относятся как произведения сторон, заключающих этот угол (см. рис. 6б):
$$ 2.<3>^<○>$$. Площади подобных треугольников относятся как квадраты их
сходственных сторон, т. е. если `Delta ABC
DeltaA_1B_1C_1`, то `(S_(A_1B_1C_1))/(S_(ABC))=((A_1B_1)/(AB))^2`.
Все эти утверждения легко доказываются с использованием соответственно формул площади (1) и (2).
Обратим внимание на важное свойство медиан треугольника.
Три медианы треугольника разбивают его на `6` треугольников с общей вершиной и равными площадями.
Докажем, например, для треугольника `BOM`, что `S_(BOM)=1/6S_(ABC)`.
Дан треугольник `ABC`. Точка `D` лежит на стороне `AB`, `AD:DB=1:2`, точка `K` лежит на стороне `BC`, `BK:KC=3:2` (рис. 8а). Отрезки `AK` и `CD` пересекаются в точке `O`. Найти отношение площади четырёхугольника `DBKO` к площади треугольника `ABC`.
2. Через точку `D` проведём прямую `DL«|\|«AK`. По теореме о пересечении сторон угла параллельными прямыми (`/_ABC`, `DL«|\|«AK`) имеем `(BL)/(LK)=(BD)/(AD)`, откуда `LK=y`.
По той же теореме (`/_DCB`, `OK«|\|«DL`) получим `(DO)/(DC)=(LK)/(LC)`, `DO=1/3DC`.
3. Теперь находим `S_(ADO):S_(ADC)=DO:DC`, `a=1/3(1/3S)=1/9S`.
(Можно по теореме Менелая для треугольника `BCD` и секущей `CD:`
Найти площадь треугольника, две стороны которого равны `3` и `7`, а медиана к третьей стороне равна `4` (рис. 9).
Пусть `AB=3`, `BC=7`, `AM=MC` и `BM=4`. Достроим треугольник `ABC` до параллелограмма, для этого на прямой `BM` отложим отрезок `MD=BM` и соединим точки: `A` с `D` и `C` с `D`. Противоположные стороны параллелограмма равны: `(DC=AB)` и равны площади треугольников `ABC` и `DBC` (общее основание `BC` и равные высоты из вершин `A` и `D`).
В треугольнике `DBC` известны все три стороны: `BC=7`, `DC=3`, `BD=2BM=8`.
Находим его площадь по формуле Герона: `p=9`, `S_(BCD)=6sqrt3`.
Значит и `S_(ABC)=6sqrt3`.
В решении этой задачи дополнительным построением получен треугольник, площадь которого равна площади заданного и легко вычисляется по данным задачи. Приведём ещё одну задачу, где сначала вычисляется площадь дополнительно построенной фигуры, а затем легко находится искомая площадь.
Найти площадь треугольника, если его медианы равны `3`, `4` и `5`.
По свойству медиан `AO=2/3m_a`, `CO=2/3m_c` и `ON=1/3m_b`. В треугольнике `AOC` известны две стороны `AO` и `CO` и медиана третьей стороны `ON`. Площадь этого треугольника найдём как в предыдущей задаче.
Достроим треугольник `AOC` до параллелограмма `AOCD`, `S_(AOC)=S_(DOC)`, в треугольнике `DOC` известны три стороны:
`DO=2ON=2/3m_b`, `OC=2/3m_c`, `DC=AO=2/3m_a`.
Площадь треугольника `DOC` вычисляем по формуле Герона `S_1=S_(AOC)=S_(DOC)=8/3`. Сравним теперь площадь треугольника `ABC` (обозначим её `S`) с площадью треугольника `AOC`. Из теоремы 2 о медианах и площадях следует `S_(AOC)=S_(AON)+S_(NOC)=2*1/6S=1/3S`.
В следующей задаче докажем лемму об отношении площади треугольника к площади другого треугольника, построенного из медиан первого.
Найти отношение площади `S` треугольника к площади `S_0` треугольника, составленного из медиан первого.
Рассмотрим рис. 10. В построенном треугольнике `OCD` стороны таковы: `OC=2/3m_c`, `OD=2/3m_b`, `CD=2/3m_a`. Очевидно, что треугольник со сторонами `m_a`, `m_b`, `m_c` подобен (по третьему признаку) треугольнику со сторонами `2/3m_a`, `2/3m_b`, `2/3m_c`.
`S_(m_am_bm_c)=3/4S_(abc)`.
Около окружности радиуса `sqrt3` описан треугольник. Найти его площадь, если одна из его сторон точкой касания делится на отрезки `9` и `5`.
Пусть `AP=9`, `PC=5` (рис. 11) и пусть `BM=x`. По свойству касательных `AM=AP`, `CN=CP` и `BN=BM`, поэтому стороны треугольника таковы: `AC=14`, `AB=9+x`, `BC=5+x`, тогда `p=14+x`. (Заметим, что `p=AC+BM`!). По формулам площади (3) и (4) имеем: `S=pr=(14+x)sqrt3` и `S=sqrt((14+x)x*5*9)`. Приравниваем правые части, возводим в квадрат, приводим подобные члены, получаем `x=1`. Вычисляем площадь треугольника:
Приём, применённый в решении этой задачи, когда площадь фигуры выражается двумя различными способами, часто используется в задачах на доказательство.
Проведём два примера, в каждом выведем полезную формулу.
В треугольнике `ABC` угол `C` равен `varphi`, `AC=b`, `BC=a` (рис. 12). Доказать, что биссектриса `CD` равна `(2ab)/(a+b) cos varphi/2`.
Обозначим `CD=x`. Очевидно, что `S_(ABC)=S_(ACD)+S_(DCB)`. По формуле (2) `S_(ABC)=1/2 ab sin varphi`, `S_(ACD)=1/2 bx sin varphi/2`, `S_(BDC)=1/2 ax sin varphi/2`. Таким образом, имеем: `1/2 ab sin varphi=1/2(a+b)x sin varphi/2`. Используем формулу синуса двойного угла `sin varphi=2sin varphi/2 cos varphi/2`, получим:
называется окружность, касающаяся одной из сторон треугольника и продолжений двух других сторон. Таких окружностей, очевидно, три (рис. 13). Их радиусы обычно обозначаются `r_a`, `r_b`, `r_c` в зависимости от того, какой стороны окружность касается.
Вневписанная окружность касается стороны `a=BC` треугольника `ABC` (рис. 14). Доказать, что `S_(ABC)=r_a(p-a)`, где `2p=a+b+c`.
Считаем площадь `S_0` четырёхугольника `ABI_aC`:
`S_0=S_(ABC)+S_(BCI_a)` и `S_0=S_(ABI_a)+S_(ACI_a)`, откуда
Формула площади необходима для определения площадь фигуры, которая является вещественнозначной функцией, определённой на некотором классе фигур евклидовой плоскости и удовлетворяющая 4м условиям:
Формулы площади геометрических фигур.
Геометрическая фигура
Формула
Чертеж
Результат сложения расстояний между серединами противоположных сторон выпуклого четырехугольника будут равна его полупериметру.
Сектор круга.
Площадь сектора круга равна произведению его дуги на половину радиуса.
Сегмент круга.
Чтобы получить площадь сегмента ASB, достаточно из площади сектора AOB вычесть площадь треугольника AOB.
Площадь эллипса равна произведению длин большой и малой полуосей эллипса на число пи.
Эллипс.
Еще один вариант как вычислить площадь эллипса – через два его радиуса.
Треугольник. Через основание и высоту.
Площадь треугольника равна половине произведения длины стороны треугольника на длину проведенной к этой стороне высоты.
Треугольник. Через две стороны и угол.
Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон, умноженного на синус угла между ними.
Треугольник. Формула Герона.
Площадь треугольника можно определить при помощи формулы Герона.
Треугольник. Через радиус вписанной окружности.
Площадь треугольника равна произведения полупериметра треугольника на радиус вписанной окружности.
Треугольник. Через радиус описанной окружности.
Площадь треугольника можно определить по радиусу описанной окружности.
Треугольник.
Площадь прямоугольного треугольника.
Треугольник.
Площадь прямоугольного треугольника через вписанную окружность.
Треугольник.
Формула Герона для прямоугольного треугольника.
Треугольник.
Площадь равнобедренного треугольника.
Трапеция.
Площадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований на высоту.
Ромб. По длине стороны и высоте.
Площадь ромба равна произведению длины его стороны и длины опущенной на эту сторону высоты.
Ромб. По длине стороны и углу.
Площадь ромба равна произведению квадрата длины его стороны и синуса угла между сторонами ромба.
Ромб.
Формула площади ромба по длинам его диагоналей.
Формула площади круга через его радиус и диаметр.
Квадрат. Через его сторону.
Площадь квадрата равна квадрату длины его стороны.
Квадрат. Через его диагонали.
Площадь квадрата равна половине квадрата длины его диагонали.
Правильный многоугольник.
Для определения площади правильного многоугольника необходимо разбить его на равные треугольники, которые бы имели общую вершину в центре вписанной окружности.
Сфера.
Площадь поверхности сферы равна учетверенной площади большого круга.
Площадь поверхности куба равна сумме площадей шести его граней.
Конус.
Боковая площадь поверхности круглого конуса равна произведению половины окружности основания (C) на образующую (l).
Усеченный конус.
Боковая площадь поверхности усеченного конуса.
Цилиндр.
Площадь боковой поверхности круглого цилиндра.
Сегмент шара.
Площадь поверхности шарового сегмента равняется произведению его высоты на окружность большого круга шара.
Поверхность шарового слоя.
Кривая поверхность шарового слоя равна произведению его высоты на окружность большого круга шара.
По какой формуле вычисляется объем прямоугольного параллелепипеда?
Содержание:
Параллелепипед – многогранник, состоящий из шести четырехугольных поверхностей с попарно параллельными сторонами. Различают несколько видов параллелепипедов в зависимости от вида четырехугольников, лежащих в их основе. Рассмотрим, какими они бывают, чем отличаются. Научимся находить площадь и объем прямоугольного и наклонного параллелепипедов по известным формулам.
Прямоугольный параллелепипед
Кубоидом или прямоугольным называется шестигранный многогранник с прямоугольниками в основании. Его противоположные поверхности взаимно параллельны, а сходящиеся в одной вершине – перпендикулярны. Ребра, выходящие из одной вершины, называются измерениями.
Свойства геометрического тела:
Рассмотрим формулы объема прямоугольного параллелепипеда и его площади.
Как найти площадь параллелепипеда
Площадью называется численная характеристика плоской фигуры, показывающая, сколько квадратов со стороной, равной единице, поместятся на её поверхности. Вычисляется как сумма площадей шести поверхностей в виде прямоугольников.
где: ab, bc и ac – площади поверхностей.
Так как стороны парные, получившуюся сумму умножают на два.
Объемом называется численная характеристика тела, отражающая занимаемое им пространство. Определяется как количество кубов со стороной единица, которое поместится в многоугольнике.
Объем прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле: V = a * b * c, где
a, b, c – размеры измерений, выходящих из одной точки, или длина, ширина и высота многогранника.
Чтобы найти объем прямоугольного параллелепипеда по приведенной формуле, в нее подставляют размеры граней многоугольника, например:
Измеряется в кубических единицах – сантиметрах, метрах и т.д. либо литрах: 1 литр равен 1 дециметру кубическому.
Физический смысл объема прост:
Вторая формула понадобится, когда в исходных данных есть площадь одной из поверхностей (Sосн) и длина третьей грани (h) или высота.
Смысл вычислений остается прежним – перемножить площадь поверхности на длину третьей стороны тела.
Объем наклонного параллелепипеда
К наклонным параллелепипедам относят четырехугольные призмы с параллелограммом в основании, боковые грани которого относительно него расположены под углом, отличным от 90°.
Площадь и объем наклонного параллелепипеда вычисляются по тем формулам, что и прямоугольного: V = Sосн * h или V = a * b * c.
Площадь определяются иначе, хоть и равна сумме поверхностей боковых граней и оснований.
S = S1 + S2 +Sосн. Боковые поверхности – прямоугольники, их площади S1 b S2 равны производным ширины на длину прямоугольников, которыми они представлены: a*c и a*b. Размеры оснований – параллелограммов – вычисляются так: Sосн = b * h.
Мы рассмотрели способы, как найти объем основных параллелепипедов по разным формулам в зависимости от исходных данных. В сложных задачах придется применять иные геометрические и тригонометрические формулы для определения требуемых данных.
