142857 что за число

кратность 7 и циклическое число 142857

Поговорим о числах и цифрах.
Все четные числа кратны двум, но цифра 6 стоит особняком, по той причине,что это единственное натуральное число, до десяти, кратное нечетному-3.
6 обладает сходимостью как для четных, так и для нечетных чисел.
Нечетные числа ведут себя менее предсказуемо,чем четные.
Их кратность гораздо более сложная.
Единице кратны все без исключения числа.
3 кратны числа, кратные 6 и 9 и в ряде случаев числа, кратные 4 и 5.
5 кратны десятки и имеющие 5 на конце.
6 кратна 2 и 3
9 кратна 3
Кратность, геометрия, симметрия чисел закономерна и красива,но самой интересной пожалуй, стоит назвать цифру 7.
Так как, деление на 7, порождает знаменитое число 142857
Из числа 142857 изгнаны нечетные цифры 3,6 и 9, связанные общими закономерностями кратности.
0/7 =0
1/7 =0.142857(142857. )
2/7 =0.285714 (28571. )
3/7 =0.428571(42857. )
4/7 =0.571428
5/7 =0.714285
6/7 =0.857142
7/7 =1.
8/7 =1.142857
9/7 =1.285714
10/7=1.428571
11/7=1.571428
12/7=1.714285
13/7=1.857421
14/7=2.
Шаг кратности 142857, является периодом разложения обыкновенной дроби 1/7 в десятичную дробь.
Дробь 1/7 — первая обратная величина с максимальным периодом в десятичной записи (длина периода на единицу меньше знаменателя дроби).
Разложенное на множители число 142857 выглядит так:
3 в третьей степени х 11 х 13 х 37
Число 142857, это так называемое число Харшад, Нивена или «Великая радость»,
— натуральное число, делящиеся нацело на сумму своих цифр
142857=5291 х(1+4+2+8+5+7)
https://ru.wikipedia.org/wiki/
А так же, оно является числом Капрекара
142857 в квадрате=200408122449
142857=20408+122449
https://ru.wikipedia.org/wiki/
Соотношение сторон листа формата А4 является десятичной дробью с периодом, равным нашему числу. Так стандартная длина листа А4 равняется 297 мм, а ширина составляет 210 мм. Пропорция, равная отношению длины к ширине листа, выглядит следующим образом 297/210 = 1,4(142857).
Умножим число 142857 на 7, в результате получится 999999. Значит, число 142857 не что иное, как седьмая часть 999999; и, следовательно, дробь 142857/999999 = 1/7. Действительно, если станете превращать 1/7 в десятичную дробь,

142 857 х 1 = 142 857
142 857 х 2 = 285 714
142 857 х 3 = 428 571
142 857 х 4 = 571 428
142 857 х 5 = 714 285
142 857 х 6 = 857 142
Одни и те же цифры меняют свое положение, движутся, как лента.
А 142 857 х 7?
999 999!
Если сложить 142 и 857, получится 999.
428+571=999
285+714=999
857+142=999

14 28 57 = 99
142 857 в квадрате дает 20 408 122 449; 20 408 и 122 449 – две части этого числа. Если их сложить, получится… 142 857.

Источник

Число 142857

В данной статье речь пойдет об очень необычном числе «142857» — сто сорок две тысячи восемьсот пятьдесят семь. На первый взгляд может показаться, что это просто набор цифр, которые не связаны между собой. А если и есть связь между цифрами внутри этого числа (14 умножить на 2 равняется 28, а 28 умножить на 2 равняется 56, что в сумме с единицей дает 57, а 57 умноженное на 2 равняется 114 и так далее), то эта связь не такая уж и особенная. Однако у нашего числа есть другие, гораздо более удивительные закономерности, о которых вы узнаете ниже, и благодаря которым это число иногда называют «магическим» или «загадочным».

Что это за число?

Что это за число? Как написано в Википедии, 142857 — это натуральное число, заключённое между 142856 и 142 858. Однако такое скупое определение и на малую толику не описывает весь спектр особенностей этого необычного числа.

Откуда взялось это число? Не может же быть, что в Википедии появилась целая статья, посвященная какому-то странному числу. На самом деле, число 142857 появилось путем деления единицы на семь, или другими более формальными словами, оно является периодом разложения обыкновенной дроби 1/7 в десятичную дробь:

1/7 = 0,142857142857… = 0,(142857)

Число 142857 в этой достаточно простой дроби повторяется бесконечное количество раз после запятой. И вот на этом и начинается череда таинственных совпадений.

Интересные факты

Факт 1. Это число является циклическим при умножении на однозначные числа. Если данное число умножать на 1, 2, 3, 4 и так далее до 7, то цифры 1, 4, 2, 8, 5 и 7 будут так и оставаться в произведении. Более того, порядок этих цифр не будет меняться: они будут находиться в той же самой последовательности друг за другом, учитывая, что за крайней правой цифрой следует крайняя левая.

Как нам уже известно, данное число является периодом дроби 1/7. Следовательно, 0,142 857 × 7 = 0,999999, что практически равняется единице. А все натуральные множители, большие чем семь, уже не будут давать цикличность.

Факт 2. У данного числа есть множество примеров цикличности.

Если из квадрата последних трёх цифр вычесть квадрат первых трёх цифр, то получится также циклический результат сдвига, а именно число: 714 285.

Если возвести наше магическое число в квадрат, то мы получим 142 857 × 142 857 = 20 408 122 449. А после прибавления последних шести цифр к первым пяти (122 449 + 20 408) получается снова 142 857.

Если делить это число на 2 или 5, то мы опять получим те же цифры в нужной последовательности

Этот факт можно объяснить простым свойством, которое связывает деление на 2 с умножением на 5, а деление на 5 с умножением на 2. Об этом читайте подробнее в одном из уроков по устному счету на нашем сайте.

Факт 3. Суммы частей числа 142857 дают числа из девяток. Если число 142 857 разбить на 2 части, то есть 142 и 857 и сложить их, то получится 999. А если на 3 части, то есть 14, 28 и 57, а потом тоже сложить, то получится 99.

Факт 4. Соотношение сторон листа формата А4 является десятичной дробью с периодом, равным нашему числу. Так стандартная длина листа А4 равняется 297 мм, а ширина составляет 210 мм. Пропорция, равная отношению длины к ширине листа, выглядит следующим образом 297/210 = 1,4(142857).

Факт 5. Это число является числом харшад. Числами харшад называются числа, делящиеся нацело на сумму цифр, из которых они состоят. Если число 142 857 разделить на сумму «1 + 4 + 2 + 8 + 5 +7», что равняется 27, то мы получим целое натуральное число 5291.

Олимпиадная задача

Данное число используют и для проверки эрудиции и логического мышления школьников и студентов. В одной из олимпиад по математике была задача со следующим условием:

На какое число, не равное нулю,надо умножить 142857,чтобы получилось число, записанное одинаковыми цифрами?

Ответ на эту задачу кроется в принципе получения данного числа. Как уже было сказано, что число 142857 стало известно благодаря делению единицы на семь (1/7=0,142857 и умножить миллион). Следовательно, можно смело утверждать, что если мы снова умножим данное число на 7, то ответ будет стремиться к одному миллиону, но не будет равен ему, так мы округляли частное в меньшую сторону.

142 857 × 7 = 999 999

Отзывы и комментарии

Как ни странно, в этой статье описаны далеко не все тайны числа 142857. К примеру, оно также является числом Капрекара, которое можно свести к постоянной 6174. Но подобные факты уже являются интеллектуальными изысками. Если вы нашли другие необычные закономерности данного числа, то можете оставлять комментарии в форме ниже. Кроме того, обратите внимание на следующие материалы нашего сайта:

Источник

142857 что за число

Это загадочное число относиться к натуральным числам, числам Капрекара, числам харшад и является циклическим. В чём же заключаеться загадочность числа?

Цикличность числа 142857

Данное число является периодом разложения обыкновенной дроби 1/7 в десятичную.

Умножение на 1, 2, 3, 4, 5, 6 Деление 1, 2, 3, 4, 5, 6 на 7

1 142857 = 142857 1/7= 0.14285714285…

2 142857 = 285714 2/7=0.28571428571…

3 142857 = 428571 3/7=0.42857142857…

4 142857 = 571428 4/7=0.57142857142…

5 142857 = 714285 5/7 = 0.71428571428…

6 142857 = 857142 6/7 = 0.85714285714…

Из операций умножения числа 142857 на 1, 2, 3, 4, 5, 6 и деления первых множителей на число 7 наблюдается цикличность( цифры 1, 4, 2, 8, 5, 7 меняют свой порядок) и полное совпадение произведения с каждой группой из шести цифр после запятой, то есть произведения являются периодами данных дробей( 1/7, 2/7, 3/7, 4/7, 5/7, 6/7).

Числа харшад (Харсхада)

Число харшад — это натуральное число, делящееся нацело на сумму своих цифр. В пример приведу наше загадочное число:

Числа Капрекара

Загадочное число 142857 относят к числам Капрекара:

После прибавления последних шести цифр к первым пяти (122449 + 20408) получается 142857

Расположим цифры сначала в порядке возрастания, затем в порядке убывания. Вычтем из большего меньшее. Затем сделаем такое с разностью и т.д.

875421-124578=750843

875421-124578=750843

Отсюда видно что каждая 7-ая итерация повторяется. Но как? Мы же преставляли цифры в числе?. Еще одна загадка числа 142857. А вот что будет если сложить преобразованные числа

875421+124578=999999

Если разделить сумму на 7, то получим…142857. А что Вы ожидали?!

Еще о цикличности

8 142857 = 1142856 ( Если прибавить первую цифру к последней, то будет…Ура! 142857)

9 142857 = 1285713 (Если прибавить первую цифру к последней, то будет 285714)

14 142857= 1999998(Та же самая операция и будет 999999)

99 142857= 14142843 (Если прибавить первые две цифры к последним двум, то опять 25…То есть 142857)

Закономерность такова: число, состоящие из цифр с порядком больше 6( в числе 1142856 первая 1 имеет 7 порядок) прибавляется к оставшемуся числу, что и будет одним из периодов дробей 1/7, 2/7, 3/7, 4/7, 5/7, 6/7 либо число 999999. А каждый множитель, делимый нацело на 7, с такой же закономерностью поможет получить число 999999. Если еще обобщить: какое б ни было большое произведение, при слаживании групп по 6 цифр мы прийдем к какому-то из вышеперечисленных периодов либо к числу 999999.

И на последок…

Поиграйте с друзьями в математический фокус: задумайте любое трехзначное число, например, 451. Переверните его — получится 154. Отнимите меньшее от большего — получится 297. Переверните его — получится 792. Сложите два последних числа: 297+792=1089. Разделите результат на 11. Ответ всегда будет один — 99.

Источник

masterok

Мастерок.жж.рф

Хочу все знать

Если разделить единицу на семь и округлить полученный результат до шестого знака после запятой, получится 0.142857.

Число 142857 называют циклическим. Если последовательно умножать его на 2, 3, 4, 5 и 6, получаются числа, в которых цифры как будто перескакивают из начала очереди в ее конец:

При этом получившиеся числа практически один в один походят на результаты деления на 7:

Еще один момент интересный : общепринятый формат бумаги А4 имеет размерность 210 на 297 миллиметров. Если разделить 297 на 210, то получится число 1.4142857

Если умножать 142857 на бо́льшие целые числа, результат в некотором смысле также будет какой-либо вариацией числа 142 857 или 999 999:

8 × 142857 = 1142856 (после прибавления первой цифры к последней получается 142 857) 42 × 142857 = 5999994 (после прибавления первой цифры к последней получается 999 999) 142 857 × 142 857 = 20 408 122 449 (после прибавления последних шести цифр к первым пяти — 122 449 + 20 408 — получается 142 857)

Более формально, если разбивать полученное произведение на группы по шесть цифр, начиная с единиц, потом складывать эти группы, и повторять эту операцию, пока число имеет более 6 цифр, в конечном итоге мы придём либо к 142 857, либо к 999 999.

Результаты деления числа на 2 или на 5 (то есть умножения его на или на соответственно) также можно получить сдвигом:

142 857 / 2 = 71 428.5 142 857 / 5 = 28 571.4

После возведения в квадрат последних трёх цифр и вычитания из них квадрата первых трёх цифр получится также результат сдвига:

Число 142 857 также является повторяющейся последовательностью в периодической дроби . Таким образом, умножение этой дроби на числа от 2 до 6 также даёт результаты, дробные части которых получаются друг из друга циклическими сдвигами:

1/7 = 0.14285714285714285714… 2/7 = 0.28571428571428571428… 3/7 = 0.42857142857142857142… 4/7 = 0.57142857142857142857… 5/7 = 0.71428571428571428571… 6/7 = 0.85714285714285714285… Если число 142 857 разбить на 2 части, то есть 142 и 857 и сложить их, то получится 999. А если на 3 части, то есть 14, 28 и 57, а потом тоже сложить, то получится 99. 142 857 является также Числом харшад и Числом Капрекара

Следующее циклическое число — 0588235294117647 с 16 цифрами:
0588235294117647 × 1 = 0588235294117647
0588235294117647 × 2 = 1176470588235294
0588235294117647 × 3 = 1764705882352941
…
0588235294117647 × 16 = 9411764705882352

Многие диковинки из области теории чисел можно с успехом демонстрировать как карточные фокусы. В качестве примера приведем следующий фокус. Он основан на том, что если умножить «циклическое число» 142857 на любое целое число от 2 до 6, то получится число, составленное из тех же цифр с круговой (цикли­ческой) их перестановкой.

Фокус состоит в следующем. Зрителю даются пять карт красной масти, имеющие числовые значения 2, 3, 4, 5 и 6. Себе же показывающий берет шесть карт черной масти, размещая их так, чтобы их числовые значения соответствовали цифрам числа 142857. Как показывающий, так и зритель тасуют свои карты; при этом показывающий только делает вид, что тасует, а в самом деле сохраняет и порядок неизменным. (Этого можно легко добиться, дважды перекладывая карты по одной с одной стороны колоды на другую. Быстрое выполнение этой операции создает полное впечатление тасовки, хотя весь эффект состоит в том, что расположение карт дважды меняется на обратное, оставляя таким образом первоначальный порядок не­изменным.)

Показывающий раскладывает на столе карты в ряд, лицевой стороной кверху, образуя число 142857. Зритель вытягивает одну из своих карт и кладет ее лицевой стороной вверх под рядом, разложенным по­казывающим. С помощью карандаша и бумаги зри­тель перемножает наше число на числовое значение вытянутой им карты. Пока он занят этим делом, по­казывающий собирает свои карты, накладывает на первую слева карту соседнюю, затем на нее соседнюю и т. д., «снимает» их один раз и снова кладет на стол кучкой (лицевой стороной книзу) 5 ). После того как зритель выполнит умножение, показывающий берет свою кучку карт и снова раскладывает их слева направо лицевой стороной кверху. Шестизначное число, которое при этом получается, в точности совпадает с результатом умножения, найденным зрителем.

А вот еще интересное про числа вот например знаменитое Число зверя, а вот Число «фи». Обратите внимание еще на Волшебные ЧЕТЫРЕ ЧЕТВЕРКИ и на то, что Великая теорема Ферма доказан

Источник

Загадочное число 142857

Математические свойства

Являясь периодом разложения обыкновенной дроби в десятичную дробь, обладает некоторыми интересными свойствами.

Циклическое число

Если 142 857 умножать на 2, 3, 4, 5 или 6, результаты будут образованы циклическим сдвигом самого числа 142857.

(заметьте, что числа справа являются периодами соответственно , и т. д.)

Обобщения цикличности

Если умножать 142857 на бо́льшие целые числа, результат в некотором смысле также будет какой-либо вариацией числа 142857 или 999999:

Более формально, если разбивать полученное произведение на группы по шесть цифр, начиная с единиц, потом складывать эти группы, и повторять эту операцию, пока число имеет более 6 цифр, в конечном итоге мы придём либо к 142857, либо к 999999.

Результаты деления числа на 2 или на 5 (то есть умножения его на или на соответственно) также можно получить сдвигом:

После возведения в квадрат последних трёх цифр и вычитания из них квадрата первых трёх цифр получится также результат сдвига:

Как период обыкновенной дроби

Число 142857 также является повторяющейся последовательностью в периодической дроби . Таким образом, умножение этой дроби на числа от 2 до 6 также даёт результаты, дробные части которых получаются друг из друга циклическими сдвигами:

Другие операции

Если число 142857 возвести в квадрат, то получится 20408122449. Если получившееся число разбить на две части 20408 и 122449 и сложить их, то получится исходное число 142857.

Если число 142857 разбить на 2 части, то есть 142 и 857 и сложить их, то получится 999. А если на 3 части, то есть 14, 28 и 57, а потом тоже сложить, то получится 99.

Другие свойства

142857 является также Числом харшад (натуральное число, делящееся нацело на сумму своих цифр и Числом Капрекара.

Источник