2пир2 что за формула
Площадь круга: как найти, формулы
площадь, 6 класс, 9 класс, ЕГЭ/ОГЭ
Определение основных понятий
Прежде чем погрузиться в последовательность расчетов и узнать, чему равна площадь круга, важно выяснить разницу между понятиями окружности и круга.
Окружность — замкнутая плоская кривая, все точки которой равноудалены от центра.
Круг — множество точек на плоскости, которые удалены от центра на расстоянии равном радиусу.
Если говорить простым языком, окружность — это замкнутая линия, как, например, кольцо и шина. Круг — плоская фигура, ограниченная окружностью, как глобус и мяч.
Формула вычисления площади круга
Давайте разберем несколько формул расчета площади круга. Поехали!
Площадь круга через радиус
Площадь круга через диаметр
S = π × d 2 : 4, где d — это диаметр.
Площадь круга через длину окружности
S = L 2 : (4 × π), где L — это длина окружности.
Популярные единицы измерения площади:
Задачи. Определить площадь круга
Мы разобрали три формулы для вычисления площади круга. А теперь тренироваться — поехали!
Задание 1. Как найти площадь круга по диаметру, если значение радиуса равно 6 см.
Диаметр окружности равен двум радиусам.
Используем формулу: S = π × d 2 : 4.
Подставим известные значения: S = 3,14 × 12 2 : 4.
Задание 2. Найти площадь круга, если известен диаметр, равный 90 мм.
Используем формулу: S = π × d 2 : 4.
Подставим известные значения: S = 3,14 × 90 2 : 4.
Задание 3. Найти длину окружности при радиусе 3 см.
Отношение длины окружности к диаметру является постоянным числом.
Получается: L = d × π.
Так как диаметр равен двум радиусам, то формула длины окружности примет вид: L = 2 × π × r.
Подставим значение радиуса: L = 2 × 3,14 × 3.
2 Пи р квадрат это формула
Для того чтобы найти площадь круга, существует формула, которую лучше запомнить:
S=πr 2 – это произведение числа пи на квадрат радиуса.
Поскольку радиус тесно связан отношениями с диаметром и длиной окружности, то путем нехитрых замен можно также вычислить площадь круга через диаметр 
или длину окружности 
.
Диаметр – это удвоенный радиус, следовательно, подставляя его в формулу вместо последнего, нужно разделить его обратно на два.
Длина окружности представляет собой удвоенное произведение радиуса и числа π: P=2πr, обратным методом получаем, что радиус равен длине окружности, разделенной на его множитель.
Данные онлайн калькуляторы предназначены для расчета площади круга. Вычисление происходит по приведенным выше геометрическим формулам, где π считается константой, округленной до 15-го знака после запятой.
Результат работы калькулятора также округляется до аналогичного разряда. Для использования калькулятора расчета площади круга необходимо ввести только значение радиуса, диаметра или окружности круга. Для калькулятора единицы измерения радиуса не имеют значения – результат вычисляется в абсолютном виде. То есть, если значение радиуса задано, например, в сантиметрах, то и вычисленное калькулятором значение площади круга тоже следует интерпретировать как представленное в квадратных сантиметрах.
Перевод радиан в градусы.
Ad = Ar * 180 / пи
Где Ad — угол в градусах, Ar — угол в радианах.
Перевод градусов в радианы.
Ar = Ad * пи / 180
Где Ad — угол в градусах, Ar — угол в радианах.
Длина окружности.
L = 2 * пи * R
Где L — длина окружности, R — радиус окружности.
Длина дуги окружности.
L = A * R
Где L — длина дуги окружности, R — радиус окружности, A — центральный угол, выраженный в радианах
Для окружности A = 2*пи (360 градусов), получим L = 2*пи*R.
Площадь треугольника.
S = (p * (p-a) * (p-b) * (p-c) ) 1/2
Где S — площадь треугольника, a, b, c — длины сторон,
p=(a+b+c)/2 — полупериметр.
Площадь круга.
S = пи * R 2
Где S — площадь круга, R — радиус круга.
Площадь сектора.
S = Ld * R/2 = (A * R 2 )/2
Где S — площадь сектора, R — радиус круга, Ld — длина дуги.
Площадь поверхности шара.
S = 4 * пи * R 2
Где S — площадь поверхности шара, R — радиус шара.
Площадь боковой поверхности цилиндра.
S = 2 * пи * R * H
Где S — площадь боковой поверхности цилиндра, R — радиус основания цилиндра, H — высота цилиндра.
Площадь полной поверхности цилиндра.
S = 2 * пи * R * H + 2 * пи * R 2
Где S — площадь боковой поверхности цилиндра, R — радиус основания цилиндра, H — высота цилиндра.
Площадь боковой поверхности конуса.
S = пи * R * L
Где S — площадь боковой поверхности конуса, R — радиус основания конуса, L — длина образующей конуса.
Площадь полной поверхности конуса.
S = пи * R * L + пи * R 2
Где S — площадь полной поверхности конуса, R — радиус основания конуса, L — длина образующей конуса.
Объем шара.
V = 4 / 3 * пи * R 3
Где V — объем шара, R — радиус шара.
Объем цилиндра.
V = пи * R 2 * H
Где V — объем цилиндра, R — радиус основания цилиндра, H — высота цилиндра.
Объем конуса.
V = пи * R * L = пи * R * H/cos (A/2) = пи * R * R/sin (A/2)
Где V — объем конуса, R — радиус основания конуса, L — длина образующей конуса, A — угол при вершине конуса.
Содержание
История [ править | править код ]
Использование многоугольников [ править | править код ]
Площадь правильного многоугольника равна половине периметра, умноженного на апофему (высоту). При увеличении числа сторон многоугольник стремится к окружности, а апофема стремится к радиусу. Это даёт основание считать, что площадь круга равна произведению половины длины окружности на радиус. [3]
Доказательство Архимеда [ править | править код ]
Следуя Архимеду, сравним площадь круга с площадью прямоугольного треугольника, основание которого равно длине окружности, а высота равна радиусу. Если площадь круга не равна площади треугольника, она должна быть меньше или больше. Исключим оба варианта, что оставит только одну возможность — площади равны. Для доказательства будем использовать правильные многоугольники.
Не больше [ править | править код ]
Предположим, что площадь круга C больше площади треугольника T = 1 ⁄2cr. Пусть E означает превышение площади. Впишем [en] квадрат в окружность, чтобы все его четыре угла лежали на окружности. Между квадратом и окружностью четыре сегмента. Если общая их площадь G4 больше E, делим каждую дугу пополам, что превращает вписанный квадрат в восьмиугольник и образует восемь сегментов с меньшим общим зазором, G8. Продолжаем деление, пока общий зазор Gn не станет меньше E. Теперь площадь вписанного многоугольника Pn = C − Gn должна быть больше площади треугольника.
G_ \P_ &<>=C-G_ \&<>>C-E\P_ &<>>Tend>>»> E = C − T > G n P n = C − G n > C − E P n > T E&<>=C-T\&<>>G_ \P_ &<>=C-G_ \&<>>C-E\P_ &<>>Tend>> 
G_ \P_ &<>=C-G_ \&<>>C-E\P_ &<>>Tend>»/>
Но это ведёт к противоречию. Для доказательства проведём высоту из центра окружности на середину стороны многоугольника, её длина h меньше радиуса окружности. Пусть каждая сторона многоугольника имеет длину s, сумма всех сторон составит ns, и эта величина меньше длины окружности. Площадь многоугольника состоит из n равных треугольников высоты h с основанием s, что даёт 1 ⁄2nhs. Но h 1 ⁄2cr, получили противоречие.
Не меньше [ править | править код ]
Предположим, что площадь круга меньше площади треугольника. Пусть D означает разницу площадей. Описываем квадрат вокруг окружности, так что середины сторон лежат на ней. Если суммарный зазор между квадратом и окружностью G4 больше D, срезаем углы касательными, превращая квадрат в восьмиугольник и продолжаем такие отсечения пока площадь зазора не станет меньше D. Площадь многоугольника Pn должна быть меньше T.
G_ \P_ &<>=C+G_ \&<> D = T − C > G n P n = C + G n C + D P n T =T-C\&<>>G_ \P_ &<>=C+G_ \&<> G_ \P_ &<>=C+G_ \&<>
Это тоже приводит к противоречию. Каждый перпендикуляр, проведённый от центра круга к середине стороны, является радиусом, т.е. имеет длину r. А поскольку сумма сторон больше длины окружности, многоугольник из n одинаковых треугольников даст площадь, большую T. Снова получили противоречие.
Таким образом, площадь круга в точности равна площади треугольника.
Доказательство перегруппировкой [ править | править код ]
| многоугольник | параллелограмм | |||
|---|---|---|---|---|
| n | сторона | основание | высота | площадь |
| 4 | 1,4142136 | 2,8284271 | 0,7071068 | 2,0000000 |
| 6 | 1,0000000 | 3,0000000 | 0,8660254 | 2,5980762 |
| 8 | 0,7653669 | 3,0614675 | 0,9238795 | 2,8284271 |
| 10 | 0,6180340 | 3,0901699 | 0,9510565 | 2,9389263 |
| 12 | 0,5176381 | 3,1058285 | 0,9659258 | 3,0000000 |
| 14 | 0,4450419 | 3,1152931 | 0,9749279 | 3,0371862 |
| 16 | 0,3901806 | 3,1214452 | 0,9807853 | 3,0614675 |
| 96 | 0,0654382 | 3,1410320 | 0,9994646 | 3,1393502 |
| ∞ | 1/∞ | π | 1 | π |
Интегрирование [ править | править код ]
Используя интегралы, мы можем просуммировать площадь круга, разделив его на концентрические окружности подобно луковице. Площадь бесконечно тонкого «слоя» радиуса t будет равна 2 π t dt, то есть произведению длины окружности на толщину слоя. В результате получим элементарный интеграл для круга радиуса r.
Можно разбивать круг не на кольца, а на треугольники с бесконечно малым основанием. Площадь каждого такого треугольника равна 1/2 * r * dt. Суммируя (интегрируя) все площади этих треугольников, получим формулу круга:
Быстрая аппроксимация [ править | править код ]
Метод удвоения Архимеда [ править | править код ]
Если задан круг, пусть un будет периметром вписанного правильного n-угольника, а Un — периметром описанного правильного n-угольника. Тогда un и Un являются нижней и верхней границей длины окружности, которые становятся точнее с ростом n, а их среднее значение (un + Un)/2 становится особенно хорошей аппроксимацией длины окружности. Чтобы вычислить un и Un для больших n, Архимед вывел следующие формулы:
u 2 n = U 2 n u n = u_ >>> (среднее геометрическое) U 2 n = 2 U n u n U n + u n = u_ > +u_ >>> (среднее гармоническое).
Начав с шестиугольника, Архимед удваивал n четыре раза, дойдя до 96-угольника, который дал ему хорошую аппроксимацию длины окружности круга.
В современных обозначениях можно воспроизвести эти вычисления (и пойти дальше). Для единичной окружности вписанный шестиугольник имеет периметр u6 = 6, а описанный шестиугольник имеет периметр U6 = 4√3. Удваиваем семь раз, получаем
Улучшение Снелла-Гюйгенса [ править | править код ]
Снелл предложил (а Гюйгенс доказал) более тесные границы, чем у Архимеда:
Для n = 48 формула даёт приближение лучше (около 3,14159292), чем метод Архимеда для n = 768.
Развитие формулы удваивания Архимеда [ править | править код ]
В первом равенстве отрезок C′P равен сумме C′O+OP, что равно r+ 1 ⁄2cn, а отрезок C′C является диаметром и его длина равна 2r. Для единичного круга получаем знаменитую формулу удвоения Людольфа Ван Цейлена
Если мы теперь построим правильный описанный n-угольник со стороной ″B″, параллельной AB, то OAB и OA″B″ являются подобными с отношением подобия A″B″ : AB = OC : OP. Обозначим описанную сторону Sn, тогда отношение превращается в Sn : sn = 1 : 1 ⁄2cn. (Мы снова используем факт, что OP равен половине A′B.) Получаем
Обозначим периметр вписанного многоугольника через un = nsn, а описанного через Un = nSn. Комбинируя равенства, получим
Можно также вывести
Аппроксимация случайными бросаниями [ править | править код ]
Конечная перегруппировка [ править | править код ]
Обобщения [ править | править код ]
Мы можем растянуть круг до формы эллипса. Поскольку это растяжение является линейным преобразованием плокости, оно изменяет площадь, но сохраняет отношения площадей. Этот факт можно использовать для вычисления площади произвольного эллипса, отталкиваясь от площади круга.
Пусть единичный эллипс описан квадратом со стороной 2. Преобразование переводит круг в эллипс путём сжатия или растяжения горизонтального и вертикального диаметров до малой и большой оси эллипса. Квадрат становится прямоугольником, описанным вокруг эллипса. Отношение площади круга к площади квадрата равно π /4, и отношение площади эллипса к площади прямоугольника будет тоже π /4. Если a и b — длины малой и большой осей эллипса. Площадь прямоугольника будет равна ab, а тогда площадь эллипса — π ab/4.
Мы можем распространить аналогичные техники и на большие размерности. Например, если мы хотим вычислить объём внутри сферы, и мы знаем формулу для площади сферы, мы можем использовать приём, аналогичный «луковичному» подходу для круга.
Площадь круга
Круг – это плоская фигура, которая представляет собой множество точек равноудаленных от центра. Все они находятся на одинаковом расстоянии и образуют собой окружность. 
Отрезок, который соединяет центр круга с точками его окружности, называется радиусом. В каждой окружности все радиусы равны между собой. Прямая, соединяющая две точки на окружности и проходящая через центр называется диаметром. Формула площади круга рассчитывается с помощью математической константы – числа π..
Это интересно: Число π. представляет собой соотношение длины окружности к длине ее диаметра и является постоянной величиной. Значение π = 3,1415926 получило применение после работ Л. Эйлера в 1737 г.
Площадь окружности можно вычислить через константу π. и радиус окружности. Формула площади круга через радиус выглядит так:
Существует формула площади круга через диаметр. Она также широко применяется для вычисления необходимых параметров. Данные формулы можно использовать для нахождения площади треугольника по площади описанной окружности.
Знания стандартных формул расчета площади круга помогут в дальнейшем легко определять площадь секторов и легко находить недостающие величины.
Мы уже знаем, что формула площади круга рассчитывается через произведение постоянной величины π на квадрат радиуса окружности. Радиус можно выразить через длину окружности и подставить выражение в формулу площади круга через длину окружности: 
Теперь подставим это равенство в формулу расчета площади круга и получим формулу нахождения площади круга, через длину окружности
Площадь круга описанного вокруг квадрата
Очень легко можно найти площадь круга описанного вокруг квадрата.
Для этого потребуется только сторона квадрата и знание простых формул. Диагональ квадрата будет равна диагонали описанной окружности. Зная сторону a ее можно найти по теореме Пифагора: 
отсюда 
.
После того, как найдем диагональ – мы сможем рассчитать радиус: 
.
И после подставим все в основную формулу площади круга описанного вокруг квадрата: 
Зная несколько простых правил и теорему Пифагора, мы смогли рассчитать площадь описанной вокруг квадрата окружности.
Как найти площадь круга
Окружность — одна из самых совершенных фигур в геометрии. Построить ее очень просто — нужен только циркуль. Но при своем совершенстве окружность создает одну из самых сложных проблем — определение площади круга. Почему это является проблемой? Дело в том, что площадь измеряется в квадратных единицах (метрах, дециметрах, миллиметрах…). Но превратить круг в прямоугольник или квадрат практически невозможно. Задача эта беспокоила умы математиков и философов на протяжении тысячелетий и даже получала собственное название — квадратура круга.
Чтобы разобраться в проблеме нужно разделить понятия окружности и круга. Окружность — это замкнутая линия, все точки которой находятся на одинаковом расстоянии от центра. А круг — это часть плоскости, ограниченная этой окружностью. Для окружности мы ищем длину, а для круга — площадь. Какую бы часть круга, ограниченную окружностью, мы не выбрали, одна из сторон обязательно будет криволинейной. Это усложняет расчет площади, если не использовать интегрального исчисления.
Приблизительно, с высокой долей точности можно найти площадь окружности через диаметр по формуле:
Это самая простая формула, позволяющая найти площадь круга, когда известный радиус. Но может возникнуть вопрос, почему найденная площадь будет неточной? Сложность связана с числом π — это отношение длины окружности к диаметру, не имеющая конечного значения. Такие числа называют иррациональными. Еще в 1761 году Иоганн Ламберт доказал, что эта постоянная трансцендентная, то есть, если возвести ее в квадрат, все равно получится иррациональное число.
Сложное доказательство этого утверждения создали Феликс Клейн и профессор Линдеманн. Практическое значение этого открытия состоит в том, что любая формула для определения площади круга, где используется число π дает приблизительный результат, то есть, квадратура круга невозможна в принципе. На данный момент известно число «Пи» с точностью до 31, 4 триллиона знаков после запятой. Для вычислений используют значение 3, 14, а для более точных — 3, 1415926.
Способы вычисления площади круга
Для решения повседневных и большинство технических задач вполне достаточно формулы S= π∙ D 2 /4. Но в геометрии есть свои подходы к решению. Не всегда дано радиус (диаметр), а измерить эту величину можно только косвенным путем при помощи построений описанных и вписанных многоугольников, дополнительных построений и т.д. Рассмотрим наиболее популярные методы, как узнать площадь круга, более подробно. Сразу же оговоримся, способ интегрального исчисления затрагивать не будем, хотя он и наиболее точный. Воспользуемся только геометрическими способами решения.
Вычисление площади по радиусу
S = π∙r 2 — формула для вычисления площади круга, если известный радиус. Как видно, это просто запись предыдущего выражения с учетом того, что r = D/2, отсюда r 2 = (D/2) 2 = D 2 /4, что и использовано в основной формуле.
Как найти площадь круга через длину окружности
Для начала вспомним, как вычисляется длина окружности. Здесь, как и в других формулах для круга и окружности используется постоянная π. Нужно запомнить, что в математике и физике этот символ является непременным участником всех вычислений, связанных с кругом, окружностью, циклическими процессами, движением по дуге. В частности, длину окружности находим по формулам L=2 πR, или L= πD. Используя их, находим:
R=L/2 π; (1)
D=L/ π. (2)
Используя запись 1 в формуле S = π∙r2 получаем:
S = π(L/2 π) 2 = L/4 π.
Аналогичный результат получим, используя формулу 2.
Как вычислить площадь круга, описанного вокруг правильного многоугольника
В каждый круг легко вписать любой правильный многоугольник. Рассмотрим случаи с самыми простыми фигурами. Если в круг вписан квадрат, то формула будет выглядеть так:
S=2π⋅a 2 /2, где а – сторона квадрата.
Если в круг вписан равносторонний (правильный) треугольник, то формула будет выглядеть так:
S=π⋅a 2 /3.
Если в равностороннем треугольнике неизвестна длина стороны, но известна высота, то используем формулу:
Если треугольники неправильные, например, равнобедренные или разносторонние, то формулы получаются сложнее. Например, для вычисления площади по данным равнобедренного треугольника используется формула:
S=π⋅( a 4 /4⋅a 2 −b 2 )
В случае прямоугольного треугольника, мы используем формулу:
S=π/4⋅(a 2 +b 2 ).
Если круг описан вокруг равнобедренной трапеции, то рассчитать площадь можно по более сложной формуле:
S=π⋅( a⋅d⋅c/4⋅√p⋅(p−a)⋅(p−d)⋅(p−c)).
Как видим, задачу вычисления площади круга можно решить при помощи готовых формул, рассчитанных практически для любого случая, используя вписанные или описанные простые геометрические фигуры. Приведем еще несколько из готовых формул, на этот раз, для фигур, внутри которых находится круг неизвестного радиуса:
S=π⋅a 2 /12 – для равностороннего треугольника;
S=π⋅b 2 /4 ⋅(tgα/2) 2 — для равнобедренной трапеции;
S=π⋅(а/2) 2 =π⋅а 2 /4 — для квадрата.
Учитывая небольшой объем статьи, все формулы приводим без доказательств, как руководство для практического использования при решении геометрических или технических задач.
Часто возникает проблема определения площади полукруга. Это можно сделать очень просто, вычислив площадь полного круга и разделив ее на 2. Если использовать формулу, то выглядеть это будет так:
S = π∙r 2 /2, или
S= π∙ D 2 /4/2 = S= π∙ D 2 /8.
Для решения практических задач сложно пользоваться формулами, да и времени для этого найти не всегда получается. Лучше всего воспользоваться онлайн-калькуляторами на специализированных сайтах. Здесь важно правильно замерить нужные параметры в требуемых единицах. Нот для учеников и студентов такие сервисы не подходят — легкое получение готового результата отучает мыслить самостоятельно и никак не углубляет знаний.