3 чему равно произведение всех действительных чисел
Научный форум dxdy
Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки
Правила форума
В этом разделе нельзя создавать новые темы.
Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе «Помогите решить/разобраться (М)».
Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.
Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.
Чему равно произведение всех вещественных чисел (кроме нуля)
 |
Последний раз редактировалось PAV 10.01.2012, 09:52, всего редактировалось 1 раз.
Чему равно произведение всех вещественных чисел кроме нуля?
| Заслуженный участник |
 |
|
Последний раз редактировалось Евгеша 04.07.2011, 00:16, всего редактировалось 2 раз(а).
| Заслуженный участник |
 |
|
Последний раз редактировалось Евгеша 04.07.2011, 00:26, всего редактировалось 2 раз(а).
|
Элементарно, произведение будет равняться нулю.)
Кто сейчас на конференции
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей
3 чему равно произведение всех действительных чисел
ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА II
§ 47 Умножение действительных чисел
В этом параграфе мы покажем, как можно прийти к естественному определению произведения двух действительных чисел α и β, из которых хотя бы одно является иррациональным. При этом мы будем исходить из того, что умножение рациональных чисел нами уже изучено (см. § 36).
Сначала предположим, что числа α и β положительные.
Пусть, например, α = 1 /3, а β = √ 2 Представим эти числа в виде бесконечных десятичных дробей:
Перемножим соответственные десятичные приближения данных чисел с недостатком. Эти приближения представляют собой рациональные числа. А перемножать такие числа мы уже умеем:
0 • 1=0
0,3 • 1,4 = 0,42
0,33 • 1,41 =0,4653
0,333 • 0,414 =0,470862
0,3333 • 1,4142 = 0,47135286
0,33333 • 1,41421 = 0,4713986193
.
Затем перемножим соответственные десятичные приближения данных чисел с избытком:
1•2 = 2
0,4 • 1,5 = 0,6
0,34 • 1,42 = 0,4828
0,334 •1,415 = 0,47261
0,3334 • 1,4143 = 0,47152762
0,33334 • 1,41422 = 0,4714160948
.
Можно доказать, что существует и притом единственное число γ, которое больше всех произведений десятичных приближений чисел 1 /3 и √ 2 с недостатком, но меньше всех произведений десятичных приближений этих чисел с избытком:
Теперь нужно рассмотреть случай, когда хотя бы один из сомножителей α и β отрицателен. Если отрицательными являются оба сомножителя α и β то
Если же один из сомножителей α и β положителен, а другой отрицателен, то
Наконец, если хотя бы один из сомножителей равен нулю, то и произведение считается равным нулю. Например,
Теперь мы можем дать общее определение произведения двух действительных чисел.
Если числа α и β рациональны, то произведение их находится по правилу умножения рациональных чисел (см. § 36).
Если хотя бы одно из чисел α и β иррационально и оба они положительны, то произведением их называется такое действительное число, которое больше всех произведений соответственных десятичных приближений этих чисел с недостатком, но меньше всех произведений соответственных десятичных приближений этих чисел с избытком.
Если оба числа α и β отрицательны, то
Если одно из чисел α и β является Положительным, а другое отрицательным, то
Наконец, если хотя бы одно из чисел α и β равно нулю, то
Нетрудно показать, что определенное таким образом действие умножения подчиняется следующим законам:
1) коммутативному закону:
2) ассоциативному закону:
Кроме того, для любых действительных чисел α, β и γ выполняется соотношение
которое выражает дистрибутивный закон умножения относительно сложения.
331. Данные произведения представить в виде десятичных дробей, указав не менее двух верных знаков после запятой:
а) √ 2 • √ 3 ; ; г) √ 2 • (— √ 5 ) ж) 3 /4 • (—√ 6 );
в) (—√ 2 ) • √ 3 ; е) 11 /9• (— √ 5 );
332. Найти несколько первых десятичных приближений (с недостатком и с избытком) для действительных чисел:
а) 1 /2• √ 7 ; б) √ 3 • √ 7 ; в) √ 3 • (—√ 7 ).
333. Исходя ил определения произведения действительных чисел, доказать, что для любого числа α
334. Всегда ли произведение двух бесконечных непериодических дробей представляет собой непериодическую дробь?
3 чему равно произведение всех действительных чисел
где x и y – действительные числа, а i так называемая мнимая единица. Соотношение для мнимой единицы
Понятия «больше» и «меньше» для комплексных чисел не вводятся.
Числа z = x + iy и 
называются комплексно сопряженными.
Алгебраической формой комплексного числа называется з апись числа z в виде z = x + iy.
Модуль r и аргумент φ можно рассматривать как полярные координаты вектора 
, изображающего комплексное число z = x + iy (см. рис. 7.1). Тогда из соотношений сторон в прямоугольном треугольнике получаем
Равенство (7.3) есть тригонометрическая форма комплексного числа. Модуль r = |z| однозначно определяется по формуле
Аргумент определяется из формул:
Используя формулу Эйлера
комплексное число 
можно записать в так называемой показательной (или экспоненциальной) форме
где r =| z | — модуль комплексного числа, а угол 
( k =0;–1;1;–2;2…).
Пример 7.1. Записать комплексные числа 
в тригонометрической и показательной формах.
На множестве комплексны х чисел определен ряд операций.
Из (7.11) следует важнейшее соотношение i 2 = –1. Действительно,
Видно, что при умножении комплексных чисел в тригонометрической форме их модули перемножаются, а аргументы складываются. Это правило распространяется на любое конечное число множителей. Нетрудно видеть, что если есть n множителей и все они одинаковые, то частным случаем равенства (7.12) является формула возведения комплексного числа в натуральную степень:
(7.13) называется первой формулой Муавра.
Произведение двух комплексных чисел в показательной (экспоненциальной) форме имеет вид:
На практике при нахождении частного двух комплексных чисел удобно умножить числитель и знаменатель дроби 
на число, сопряженное знаменателю, с дальнейшим применением равенства i 2 = –1 и формулы разности квадратов.
Деление комплексных чисел осуществляется также и в тригонометрической форме, при этом имеет место формула:
Видно, что при делении комплексных чисел их модули делятся, а аргументы вычитаются соответственно.
Частное двух комплексных чисел в показательной (экспоненциальной) форме имеет вид:
Пользуясь формулой (7.11), вычислим их произведение
На основании формулы (7.14) вычислим их частное
Решение. Используя (7.4) и (7.5), получаем:
Аналогично, для z 2 можно записать:
По формулам (7.12) и (7.16) получим в тригонометрической форме:
Пользуясь формулами (7.14) и (7.17), получим в показательной форме:
в натуральную степень, определенному ранее формулой (7.13).
(7.18) называется второй формулой Муавра.
Пример 7.4. Найти все корни уравнения z 4 +16=0.
Теорема 7.1 (основная теорема алгебры). Для всякого многочлена с комплексными коэффициентами
Приведем еще одну теорему, имеющую место над множеством комплексных чисел.
Таким образом, произведение линейных множителей, соответствующих сопряженным корням, можно заменить квадратным трехчленом с действительными коэффициентами, а соответствующее квадратное уравнение будет иметь отрицательный дискриминант.
Иррациональные числа
Определение иррациональных чисел
Иррациональное число — это действительное число, которое невозможно выразить в форме деления двух целых чисел, то есть в рациональной дроби:
Оно может быть выражено в форме бесконечной непериодической десятичной дроби.
Бесконечная периодическая десятичная дробь — это такая дробь, десятичные знаки которой повторяются в виде группы цифр или одного и того же числа.
Примеры иррациональных чисел:
Множество иррациональных чисел договорились обозначать латинской буквой I.
Действительныеили вещественные числа — это все рациональные и иррациональные числа: положительные, отрицательные и нуль.
Свойства иррациональных чисел
Какие числа являются иррациональными мы уже поняли, но это еще не все. Есть еще важная тема для изучения: их основные свойства.
Свойства иррациональных чисел:
Определение рациональных чисел
А теперь наоборот: рассмотрим противоположное заданной теме определение.
Рациональное число — это такое число, которое можно представить в виде положительной или отрицательной обыкновенной дроби или нуля. Если число можно получить делением двух целых чисел — это число точно рациональное.
Рациональные числа — это те, которые можно представить в виде:
где числитель m — целое число, а знаменатель n — натуральное число.
Рациональные числа – это все натуральные, целые числа, обыкновенные дроби, бесконечные периодические дроби и конечные десятичные дроби.
Множество рациональных чисел принято обозначать латинской буквой Q.
Примеры рациональных чисел:
У рациональных чисел есть определенные законы и ряд свойств — рассмотрим каждый их них. Пусть а, b и c — любые рациональные числа.
Основные свойства действий с рациональными числами
Числа. Комплексные (мнимые) числа.
Множество всех комплексных чисел с арифметическими операциями есть поле и обычно обозначают как 
.
Мнимое число (либо чисто мнимое число) — комплексное число с действительной частью, равной нулю. Раньше этим термином обозначали комплексные числа.
Комплексные числа изображаются на комплексной плоскости:
Например, построим на комплексной плоскости следующие комплексные числа:
, 
, 
,
, 
, 
,
, 
, 
, 
.
Действия над комплексными числами.
означает, что a = c и b = d (2 комплексных числа равны между собой только в том случае, если равны их действительные и мнимые части).
(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i.
Для того чтобы сложить 2 комплексных числа нужно сложить их действительные и мнимые части:
(a + bi) – (c + di) = (a – c) + (b – d)i.
Действие аналогично сложению, отличие только в том, что вычитаемое берем в скобки, а потом – как обычно раскрываем их со сменой знака:
У числа, которое мы получили 2, а не 3 части. Так как действительная часть является составной: 
. Что было понятней ответ перепишем так: 
.
Рассчитываем 2-ю разность:
Здесь действительная часть тоже составная: 
.
Приведем короткий пример с «нехорошей» мнимой частью: 
. В этом случае без скобок никак не обойтись.
Найдем произведение комплексных чисел 
, 
Раскрываем скобки, как обычно. Обратите внимание, что 
и будьте внимательны.
Напомним: Чтобы умножить многочлен на многочлен надо все члены 1-го многочлена умножить на каждый член другого многочлена.
Очевидно, что 
.
Как и в сумме, в произведении комплексных чисел работает перестановочный закон: 
.
Произведение 2-х сопряжённых комплексных чисел равно положительному действительному числу.
Если делитель ненулевой, деление всегда возможно.
Есть комплексные числа 
, 
. Найдем частное 
.
Деление чисел производится способом умножения знаменателя и числителя на сопряженное знаменателю выражение.
Напомним, что 
и смотрим на наш знаменатель: 
. В знаменателе уже имеется 
, поэтому сопряженным выражением в данном случае оказывается 
, т.е. 
.
Из правила, знаменатель необходимо домножить на 
, и, чтобы ничего не изменилось, умножить числитель на такое же число :
Дальше в числителе раскрываем скобки. А в знаменателе пользуемся формулой (при ).
Часто перед делением дробь лучше упростить.
Свойства комплексных чисел.
1. Основная теорема алгебры.
У всех, не являющихся константой многочленов (от одной переменной) с комплексными коэффициентами есть как минимум 1 корень в поле комплексных чисел.
2. Формула Муавра и извлечение корней из комплексных чисел.
Эта формула помогает возводить в целую степень комплексное число, не равное нулю, которое представлено в тригонометрической форме.
Формула Муавра имеет вид:
где r — модуль, а φ — аргумент комплексного числа.
Аналогичная формула применяется также и при вычислении корней n-ой степени из комплексного числа, не равного нулю:
Заметим, что корни n-й степени из комплексного числа, не равного нулю, всегда есть, и их чило равно n. На комплексной плоскости, как видно из формулы, все эти корни оказываются вершинами правильного n-угольника, который вписан в окружность радиуса с центром в начале координат.
Например, корни 5-ой степени из единицы (вершины пятиугольника):