алгоритмизация в обучении математике

Алгоритмы в математике

Разделы: Математика

Современные формы обучения, инновации в преподавании, введение новых технологий диктуют учителю необходимость постигать секреты мастерства, а значит, и совершенствовать методы обучения и воспитания учащихся.

Исследования психологов и педагогов, опыт коллег показывают: чтобы научить детей самостоятельно учиться и проявлять творчество необходимо применение деятельностного подхода в обучении. Для этого учащихся нужно замотивировать и обучить их приемам и способам учебной деятельности, которые помогут сформировать необходимые знания, умения и навыки.

Курс школьной математики имеет достаточно широкие возможности для применения различных приемов, методов и технологий. В последние годы в содержание школьного курса естественным образом закладывается алгоритмическая линия. Так как применение алгоритмов является приоритетным в моей работе, то нужно отметить что, между понятиями “прием” и “алгоритм” существует много общего, ни и есть принципиальные отличия, а именно:

– прием – это рациональный способ работы, который состоит из отдельных действий, он может быть выражен в виде правил или инструкций, его можно перестроить и на его основе создать новый прием. Приемы деятельности допускают самостоятельный выбор учениками конкретных действий по решению учебных задач;
– алгоритм – это общепонятное и однозначное предписание, которое определяет последовательность действий, позволяющее достичь искомый результат. Алгоритм предполагает жесткое выполнение шагов, а прием дает общее направление деятельности по решению учебных задач, не регламентируя каждый шаг. Поэтому я в своей работе выделяю два подхода: 1) обучение алгоритмам; 2) формирование приемов решения задач. Школьные задачи делятся на: алгоритмические, полуалгоритмические, полуэвристические и эвристические. Каждый тип задачи предполагает свои схемы решения, подходы, применение логики и изобретательности.

На начальном этапе обучения математике применение алгоритмов способствует формированию и прочному усвоению навыков владения математическими методами. Также осуществляется подготовка к формированию первоначальных представлений о математическом моделировании. Уже в начальных классах прослеживается применение простейших алгоритмов выполнения арифметических операций, дети овладевают навыками выполнения последовательных действий. Решают задачи с составлением схем и кратких записей. Это можно рассматривать как пропедевтику операционного стиля мышления.

Следующий уровень алгоритмической культуры учащихся – введение понятия алгоритма и формирование его основных свойств. Это происходит в среднем звене школы. Именно в этот период необходимо сочетания алгоритма и образца ответа, что дает возможность ученику, верно, ответить на поставленный вопрос, сопроводив его правильной речью. У учителя появляется возможность предлагать задачи с элементами творчества. А материал, предлагаемый в наших школьных учебниках, является хорошей базой для обучения составлению простейших алгоритмов и дальнейшей их записи в разных формах. Мы применяем табличную, графическую (блок-схема), словесную и формульную форму записи алгоритмов.

В качестве примера, иллюстрирующего процесс алгоритмизации как средство обучения, можно указать на решение задач методом уравнений. Примером графического алгоритма является блок-схема для отыскания количества решений системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными (см. Рисунок 1).

Отыскания числа решений системы двух линейных уравнений (блок-схема)

Рис. 1
Графические алгоритмы

Табличную форму алгоритма можно продемонстрировать на примере таблицы, составляемой для исследования функций и дальнейшего построения графиков (см. рис. 2).

Исследование функции и построение графика

Функция задана уравнением у = f(x). Исследовать функцию и построить ее график.

1. Таблица исследования функции

2. Построение графика

Рис. 2
Табличный алгоритм

Пример формульного способа – последовательность нахождения компонентов при составлении уравнения касательной к графику той или иной функции (см. рис. 3).

Уравнение касательной к графику функции

Рис. 3
Формульный способ

Словесный алгоритм используется практически во всех правилах выполнения действий, например, правило сложения чисел с разными знаками (см. рис. 4).

Алгоритм сложения чисел с разными знаками

Рис. 4
Словесный алгоритм

В старших классах работа становится разнообразней и содержательней, появляется возможность включать упражнения разного типа и уровня сложности, предполагающее, что приемы деятельности могут быть разной степени сложности и обобщенности. Они состоят из большого числа действий, выполнение которых приводит к применению алгоритмов на отдельных этапах работы.

Такой подход к преподаванию математики в основной школе определяет условия для формирования у учащихся навыков, позволяющих в старших классах успешно изучать базовый курс “Информатики и ИКТ”. Применение алгоритмов в старших классах, по мнению некоторых учителей, отбивает творческий подход к решению задач, но с другой стороны, твердое знание основных задач курса и умение их решать, является твердым фундаментом для активизации самостоятельной и творческой работы учащихся.

Источник

Использование алгоритмов при обучении математике

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Использование алгоритмов при обучении математике

Начиная работать с первокурсниками, я каждый год сталкиваюсь с одними и теми же проблемами:

1. Низкая мотивация обучению математике;

2. Отсутствие базовой подготовки по математике за курс девятилетней школы;

3. Различный интеллектуальный уровень учащихся ;

4. Отсутствие межличностных связей у учащихся. Много детей из социально запущенных семей или склонных к правонарушениям, в которых родители самоустраняются от их воспитания и ребята чаще всего предоставлены сами себе.

Возникает необходимость поиска средств по повышению уровня подготовки учащихся, развития их познавательного и творческого потенциала, внедрения современных образовательных технологий. Вовлечение обучающихся в работу, которая позволит им применить полученные знания в новых условиях, придаст деятельности поисковых характер и, в целом, приведет к созданию особой интеллектуальной среды. Всё это послужило причиной поиска активных методов работы, направленных на усвоение знаний на уроках математики с учетом индивидуальных возможностей учащихся. Поэтому я выбрала тему «Использование алгоритмов при обучении математике».

Используя алгоритмы, преподаватель может применять методы обучения, наиболее подходящие к сложившимся условиям, предвидеть, прогнозировать возможные последствия их применения, преодолевать многочисленные трудности, встречающиеся на практике, а затем практически проверять свои выводы.

Стремительно вырос объем информации, необходимой человеку для успешной профессиональной деятельности. Современное образование должно успевать за этими изменениями в жизни. Сегодня мы должны учить учащихся так, чтобы никакие, даже самые глубокие изменения в окружающем мире не смогли поставить их в тупик. Для этого очень хорошо подходит использование алгоритмов в обучении не только математике, но и другим предметам.

Поэтому свою цель, как учителя математики, я вижу в формирования алгоритмического стиля мышления учащихся. Работа по алгоритмам развивает интерес учащихся к процессу обучения, они стремятся решение любой проблемы представить в виде алгоритма, не только на математике, но и на других предметах, что развивает их творческое и конструктивное мышление. Алгоритмизация обучения предполагает единство между анализом и синтезом и активно влияет на развитие творческого мышления учащихся. Свободное творчество возможно только на базе осознанных алгоритмов. Подтверждение этому я вижу, когда обучающиеся составляют алгоритмы в решении практических задач по другим предметам, особенно по специальным предметам. Например, как правильно разбортировать колесо, какова последовательность действий для начала движения электровоза и т.д.

Таким образом, использование алгоритмического подхода в процессе обучения способствует не только совершенствованию форм и методов обучения, но и направленности образовательного процесса на личностное развитие обучающегося, выработке у них алгоритмических навыков, позволяющих формировать умение самостоятельно приобретать знания в дальнейшем.

В результате работы на этой темой я пришла к следующим выводам:

2. Алгоритмическая форма представления учебного материала курса математики способствует созданию основы для выработки навыков усвоения действий, адекватных понятиям и теоремам математики.

3. Использование алгоритмов позволит дифференцированно управлять процессом усвоения математических знаний.

4. Формирование алгоритмических умений, заключающихся в построении алгоритмических предписаний и схем, анализе и коррекции действий по выполнению и составлению алгоритмов, являющихся составляющими повышения качества знаний учащихся.

5. Недостатки в усвоении знаний учащимися при обучении математике возможно преодолеть при условии совершенствования процесса обучения, в котором используется алгоритмический подход.

6. Внедрение алгоритмического подхода в процесс изучения математики позволяет использовать идею алгоритмизации не только при решении конкретных задач, но и при организации учебного процесса.

7. Разработанная методика может быть использована на уроках, где решение задач поддается описанию с помощью алгоритмических предписаний.

8. Результаты введения алгоритмического подхода при изучении математики подтвердили ее важность и значимость для повышения качества знаний учащихся.

В своей работе я использую следующие алгоритмы:

I Алгоритм исследования функции на монотонность и экстремумы

1. Найти область определения функции D ( f ).

2. Найти производную f I ( x ).

3. Найти критические точки f I ( x )=0,

Решить уравнение: f I ( x )=0,

4.Сделать чертеж:

1) На числовой прямой расставить точки: x _1, x _2, x ₃

2) Вычислить f I ( x ) в точке х₀ и расставить знаки «+» и «-на всех промежутках.

3) Определить промежутки возрастания и убывания и точки максимума и минимума.

II Алгоритм решения линейного уравнения

а) умножить число, стоящее перед скобкой на каждое слагаемое в скобках.

б) помни: при умножении чисел с одинаковыми знаками получаем «+», а

при умножении чисел с разными знаками получаем «-«.

2. Перенести слагаемые с неизвестными в левую часть, а известные слагаемые в правую.

помни: при переносе слагаемых из одной части в другую знак слагаемого меняется,

при переносе слагаемых в одной части знак слагаемого сохраняется.

3. Привести подобные слагаемые в каждой части уравнения, получить уравнение вида:

4. Найти корень уравнения:

III Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке

1. Найти область определения функции D (f )

2. Найти производную f ‘(x)

3. Найти критические точки f ‘( x ) = 0

5. Вычислить значения функции в критических точках, входящих в данный промежуток, и на концах отрезка.

3.Критические точки- f | ( x )=0

5. Вычислить значения функции f ( x ) при х = 0; 1;3

6.Ответ: f_max = f (3) = 25 на промежутке [0; 3]

f_min = f (1) = 5 на промежутке [0; 3]

IV Алгоритм решения иррациональных уравнений

Уравнения, содержащие неизвестное под знаком корня называются иррациональными.

1. Привести данное уравнение к виду:

= g ( x ).

2. Возвести обе части уравнения и n-ую степень (в квадрат).

n = ( g ( x )) n

3. Решить полученное уравнение:

4. Сделать проверку.

Пример: решить уравнение: + x =7

1. + x =7

2.

3. Возведем обе части уравнения в квадрат

2 = ) 2

Решим полученное уравнение:(смотри справочный материал)

2 x +1 = 49-14 x + x 2 4. Сделаем проверку:

Решим по теореме Виета х=12

x ₁ * x ₂ =48 +4 =7

x ₁ = 12; x ₂ = 4 7 = 7 –верно

( a + b ) 2 = a 2 + 2 ab + b 2

(x-3) 2 = x 2 – 2*x*3 + 3 2 = x 2 – 6x + 9

(3 x + 4) 2 = (3 x ) 2 + 2*3 x *4 + 4 2 = 9 x 2

V Алгоритм решения показательных уравнений

1. Привести уравнение к виду:

=

2. Так как степени равны, основания степеней равны, то и показатели степеней равны, поэтому составим уравнение:

3. Определить тип уравнения и решить его.

Найти корни уравнения.

=

=

=1

=1

0 х₁+ х_{2 =} 3

Источник

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ АЛГОРИТМОВ ПРИ ОБУЧЕНИИ МАТЕМАТИКЕ

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

ПРИ ОБУЧЕНИИ МАТЕМАТИКЕ

(выступление на Педагогическом Совете)

Подготовила учитель математики, информатики и ИКТ первой категории Погодина Надежда Михайловна

Возможности совершенствования методики работы учителя существенно зависят от его умения целенаправленно управлять мыслительной деятельностью учащихся, активизируя ее. Осуществлять такое управление учитель может, опираясь на психолого-педагогические знания, то есть на систему закономерностей, концентрирующую в себе сведения по психологии и дидактике, и соответствующую методику применения этой системы при обучении предмету. В этих закономерностях раскрываются взаимосвязи между внутренними процессами, протекающими в сознании учащихся, и внешними, дидактическими условиями, в которых проходит учебная деятельность. Опираясь на эти закономерности, учитель может путем видоизменения внешних условий координировать внутренние процессы, протекающие в сознании учащихся.

Таким образом, у учителя появляется возможность целенаправленно управлять мыслительной деятельностью учащихся. Учитель может выбирать методы обучения, наиболее подходящие к условиям его работы, предвидеть, прогнозировать возможные последствия их применения, преодолевать многочисленные трудности, встречающиеся на практике, а затем практически проверять свои выводы.

К концу ХХ века стала складываться, сначала в рамках кибернетики и биологии, а затем информатики, информационная картина мира. Информационная картина мира рассматривает окружающий мир под особым, информационным, углом зрения, при этом она не противопоставляется вещественно-энергетической картине мира, а дополняет ее. Не рассматривая общих закономерностей информационных процессов, невозможно объяснить строение и функционирование сложных систем различной природы (биологических, социальных, технических).

Стремительно вырос объем информации, необходимой человеку для успешной профессиональной деятельности. Современное образование должно успевать за этими изменениями в жизни. Сегодня мы должны учить детей так, чтобы никакие, даже самые глубокие изменения в окружающем мире не смогли поставить ребенка в тупик.

Человеческое мышление можно рассматривать как процесс обработки информации в мозгу человека. Человек является носителем очень большого объема информации в виде зрительных образов, знания различных факторов и теорий и так далее. Весь процесс познания является процессом получения и накопления информации. Для обмена информацией служат языки.

Для обмена информацией между людьми используются естественные языки (русский, английский и другие). Основу языка составляет алфавит, или набор символов, которые человек различает по их начертанию. Наряду с естественными языками были разработаны формальные языки (нотная запись, языки программирования и так далее). Основное отличие формальных языков от естественных состоит в наличии не только жестко зафиксированного алфавита, но и строгих правил грамматики и синтаксиса.

Например, правила записи математических выражений можно рассматривать как формальный язык, имеющий алфавит (цифры) и позволяющий не только именовать и записывать объекты (числа), но и выполнять над ними арифметические операции по строго определенным правилам. Математика, рассматриваемая с такой точки зрения, выступает в особой роли – в роли языка науки. Так понимал математику великий Галилей.

Одним из формальных языков, используемых в школе, является алгоритмический. Наиболее четко алгоритмы выявляются в курсе математики. С понятием алгоритма в неявном виде школьник постоянно соприкасается. Первоначальное представление о понятии алгоритма школьники получают на интуитивно-содержательном уровне.

Хорошим примером алгоритма, знакомого всем с раннего детства, может служить правило перехода улицы, правило оказания первой помощи при кровотечении, знаменитое правило сложения «столбиком» натуральных чисел, записанных в десятичной системе. Следует обратить внимание школьников на тот факт, что многие повседневные ситуации наряду с математическими задачами могут рассматриваться с общих алгоритмических позиций.

На уроках математики сначала знакомлю школьников со словесными представлениями алгоритмов. Перечисляю различные формы выражения алгоритмов, различаю устную и письменную форму выражения алгоритмов, запись алгоритма в виде обычного текста, плана, инструкции и так далее. Считаю, что рассмотрение средств описания алгоритмов целесообразно начать со средств родного языка, знакомых и понятных школьнику, а затем перейти к изучению других средств.

Математика дает свои средства описания алгоритмов, а именно язык математических описаний, который наиболее часто и четко проявляется и легко воспринимается в том случае, когда для описания алгоритмов используется формула.

Целесообразно сначала познакомить школьников с линейными алгоритмами, потом с разветвляющимися и затем с циклическими. Одним из средств описания алгоритмов являются блок-схемы. Это графический способ представления алгоритмов. Иногда говорят об описании алгоритмов на языке блок-схем. Блок-схемы наглядно выражают логическую суть решения задачи, доказательства теоремы. В методическом плане представляет интерес перевод описания алгоритма с блок-схемы на словесное представление и обратно.

Опираясь на мнение Груденова Я.И., а также на собственный опыт преподавания математики, считаю, что успешное использование алгоритмического подхода зависит от ряда условий:

Прежде всего, его необходимо сочетать с применением образца ответа, иначе указания алгоритма приходится давать чрезмерно громоздкими и неудобными для применения.

Алгоритм должен быть наиболее кратким. С кратким алгоритмом учащиеся работают значительно охотнее. Он является для них как бы планом, схемой, своеобразным стимулом, помогающим восстановить в памяти только что прослушанные, но ещё хорошо не запомнившиеся рассуждения учителя. Краткие указания легко запоминаются.

Установка учителя на прочное запоминание способствует лучшему запоминанию, облегчает его. Без неё формирование умений замедляется, и многие учащиеся долго не запоминают алгоритм, путаются при объяснении решения задачи.

Большое значение имеет также пунктуальное соблюдение данного учителем образца решения задачи. Учитель сам продумывает и алгоритм, и образец его применения, но затем по возможности соблюдает выбранную последовательность рассуждений.

В алгоритм желательно включать указания, побуждающие учащихся контролировать свои действия. Это позволяет предупреждать типичные ошибки. Действия по контролю неоднократно повторяются, и потому, постепенно свертываясь, они входят в сформированную обобщенную ассоциацию как её необходимый компонент.

Указания в алгоритме желательно давать в таком виде (и в такой форме), чтобы они содержали в себе все необходимые объяснения, какие учитель хочет слышать от учащихся по ходу решения задач. (Поэтому даже глаголы в указаниях стоит давать не в повелительном, а в изъявительном наклонении.)

Непосредственное решение математической задачи состоит из последовательности шагов (действий), каждый из которых есть применение некоторого общего положения математики к условиям задачи или к их следствиям. Математика и занимается тем, что устанавливает для многих видов задач правила, пользуясь которыми можно найти указанную последовательность шагов для решения любой задачи данного вида.

Наиболее благоприятный материал для алгоритмизирования:

1. Словесное правило
Пример: 7-й класс. «Степень произведения равна произведению степеней множителей».
Установить все множители произведения.
Найти данную степень каждого из них.
Результат второго шага перемножить.

2. Правило-формула
Пример: 8-й класс. Формула корней квадратного уравнения: ax2 + bx + c = 0. Проверяем условие: a ≠ 0.
Находим D = b2 – 4ac; проверяем: D > 0.
Если эти условия выполнены, то вычисляем корни по формуле:

3. Правило-тождество
Пример: 7-й класс. (a + b)2 = a2 + 2ab + b2.
Найти первый член двучлена.
Найти второй член двучлена.
Возвести первый член двучлена в квадрат.
Возвести второй член двучлена в квадрат.
Найти произведение первого и второго членов двучлена.
Результат 5-го шага удвоить.
Результаты 3, 4, 6-го шагов сложить.

4. Правило-теорема
Пример: 8-й класс. Теорема: «Средняя линия трапеции параллельна её основаниям и длина её равна полусумме длин оснований».
Установить длину оснований.
Найти их сумму.
Полученную сумму разделить на 2.

5. Правило-определение
Пример: 9-й класс. «Числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предшествующему, сложенному с одним и тем же числом, называется арифметической прогрессией».
Определить, какой (по номеру) член прогрессии предшествует искомому. Узнать значение этого предшествующего члена.
Найти разность прогрессии.
К значению предшествующего члена прибавить разность прогрессии.
Полученная сумма и будет искомым членом.

Для классов с различной степенью подготовленности алгоритмическое предписание может быть разным. Иногда можно выполнять не все этапы предписания. Запись всех этапов требую от учеников только на первых этапах обучения. В дальнейшем некоторые этапы можно не записывать, а выполнять в уме. Появление алгоритмических предписаний происходит постепенно, с привлечением учащихся к их составлению. Алгоритмический подход позволяет использовать следующие приемы активизации мыслительной деятельности.

Прием использования стимулирующих звеньев

В качестве стимулирующих звеньев могут выступать процессы вспоминания, применения теорем, алгоритмов, созерцания и представления графиков, моделей и так далее. Алгоритмический подход помогает формировать у учащихся умения применять данный прием в конкретных ситуациях.

Прием мысленного составления плана

Составляя алгоритм, читая соответствующий текст, мы намеренно или подсознательно разбиваем материал на отдельные логические части и даем им названия. Эту работу можно выполнить только тогда, когда текст понятен. Прием помогает глубже понять материал, а значит, и лучше его запомнить.

I этап. На уроке геометрии даю план доказательства теоремы и предлагаю учащимся самим доказать ее с помощью плана.

II этап. Учу учащихся составлять план по уже решенной задаче или изученной теореме. Эта работа сначала выполняется коллективно, затем индивидуально.

Хорошо успевающие ученики запоминают план, восстанавливая промежуточные преобразования в сознании по ходу доказательства. Следовательно, у них объем запоминаемого теоретического материала сравнительно невелик, компактен. Слабоуспевающие учащиеся стараются запомнить все детали доказательства. Приходится запоминать материал большого объема. Формирование навыков составления плана поднимает в этом отношении всех учащихся до уровня сильных, и притом в очень короткие сроки.

Решая любую задачу (в быту, учебе и так далее), человеку приходится постоянно предвидеть ход событий и на основе анализа, синтеза, обобщения ситуации, создавшейся на данный момент, регулировать и корректировать свою последующую деятельность, прогнозировать ее результаты. Особенно широко прогнозирование можно использовать при поиске решения задач. Разработав алгоритмы решения для многих видов задач, ученик получает возможность использования указанной последовательности шагов для решения любой задачи данного вида.

Прием соотнесения свожу к увязыванию изучаемого материала с прежними знаниями и отдельных частей нового между собой. Это становится возможным при использовании алгоритмов, различающихся по объему содержания, по степени подробности, по предназначению, по последовательности выполнения действий, что и помогает включить новый материал в структуру прежних знаний, к познанию взаимосвязей явлений и предметов, то есть усилить глубину и отчетливость понимания и тем самым обеспечить успешное запоминание.

Прием выделения смысловых опорных пунктов

Смысловые опорные пункты – заглавия, образы, слова, выделяемые по ходу ознакомления с материалом. Они выделяются из готового текста или придумываются. По существу опорные пункты алгоритмического предписания в своей совокупности представляют план материала. Но незавершенность, фрагментарность формулировок, образный, символический или даже эмоциональный характер некоторых опорных пунктов – все это отличает их от плана. Основная цель выделения опорных пунктов – активизация мыслительной деятельности учащихся, побуждающая их вникнуть в изучаемый текст, понять его. Смысловой опорный пункт – это опорный пункт понимания.

В своей работе, опираясь на психолого-дидактические знания, анализирую данный метод и применяемые приемы обучения, выявляю его достоинства, недостатки, возможные пути устранения этих недостатков, анализирую трудные ситуации, возникающие на уроках математики, предлагаю возможные выходы из этих затруднений, пути их предупреждения.

Список используемой литературы

Груденов Я.И. Совершенствование методики работы учителя математики. М.: Просвещение, 1990.

Макаренков Ю.А., Столяр А.А. Что такое алгоритм? М.: Просвещение, 1989.

Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. и др. Алгебра-7. М., 1997; Алгебра-8. М., 1999; Алгебра-9. М., 1999.

Рубинштейн C.Л. Основы общей психологии. СПб.: Питер, 2002.

Седова Э.В. Основы информатики и вычислительной техники. Волгоград: «Учитель», 2002.

Угринович Н. Информатика и информационные технологии. М.: Лаборатория базовых знаний, 2002.

Источник