алгоритмы в обучении математике

Алгоритмы в математике

Разделы: Математика

Современные формы обучения, инновации в преподавании, введение новых технологий диктуют учителю необходимость постигать секреты мастерства, а значит, и совершенствовать методы обучения и воспитания учащихся.

Исследования психологов и педагогов, опыт коллег показывают: чтобы научить детей самостоятельно учиться и проявлять творчество необходимо применение деятельностного подхода в обучении. Для этого учащихся нужно замотивировать и обучить их приемам и способам учебной деятельности, которые помогут сформировать необходимые знания, умения и навыки.

Курс школьной математики имеет достаточно широкие возможности для применения различных приемов, методов и технологий. В последние годы в содержание школьного курса естественным образом закладывается алгоритмическая линия. Так как применение алгоритмов является приоритетным в моей работе, то нужно отметить что, между понятиями “прием” и “алгоритм” существует много общего, ни и есть принципиальные отличия, а именно:

– прием – это рациональный способ работы, который состоит из отдельных действий, он может быть выражен в виде правил или инструкций, его можно перестроить и на его основе создать новый прием. Приемы деятельности допускают самостоятельный выбор учениками конкретных действий по решению учебных задач;
– алгоритм – это общепонятное и однозначное предписание, которое определяет последовательность действий, позволяющее достичь искомый результат. Алгоритм предполагает жесткое выполнение шагов, а прием дает общее направление деятельности по решению учебных задач, не регламентируя каждый шаг. Поэтому я в своей работе выделяю два подхода: 1) обучение алгоритмам; 2) формирование приемов решения задач. Школьные задачи делятся на: алгоритмические, полуалгоритмические, полуэвристические и эвристические. Каждый тип задачи предполагает свои схемы решения, подходы, применение логики и изобретательности.

На начальном этапе обучения математике применение алгоритмов способствует формированию и прочному усвоению навыков владения математическими методами. Также осуществляется подготовка к формированию первоначальных представлений о математическом моделировании. Уже в начальных классах прослеживается применение простейших алгоритмов выполнения арифметических операций, дети овладевают навыками выполнения последовательных действий. Решают задачи с составлением схем и кратких записей. Это можно рассматривать как пропедевтику операционного стиля мышления.

Следующий уровень алгоритмической культуры учащихся – введение понятия алгоритма и формирование его основных свойств. Это происходит в среднем звене школы. Именно в этот период необходимо сочетания алгоритма и образца ответа, что дает возможность ученику, верно, ответить на поставленный вопрос, сопроводив его правильной речью. У учителя появляется возможность предлагать задачи с элементами творчества. А материал, предлагаемый в наших школьных учебниках, является хорошей базой для обучения составлению простейших алгоритмов и дальнейшей их записи в разных формах. Мы применяем табличную, графическую (блок-схема), словесную и формульную форму записи алгоритмов.

В качестве примера, иллюстрирующего процесс алгоритмизации как средство обучения, можно указать на решение задач методом уравнений. Примером графического алгоритма является блок-схема для отыскания количества решений системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными (см. Рисунок 1).

Отыскания числа решений системы двух линейных уравнений (блок-схема)

Рис. 1
Графические алгоритмы

Табличную форму алгоритма можно продемонстрировать на примере таблицы, составляемой для исследования функций и дальнейшего построения графиков (см. рис. 2).

Исследование функции и построение графика

Функция задана уравнением у = f(x). Исследовать функцию и построить ее график.

1. Таблица исследования функции

2. Построение графика

Рис. 2
Табличный алгоритм

Пример формульного способа – последовательность нахождения компонентов при составлении уравнения касательной к графику той или иной функции (см. рис. 3).

Уравнение касательной к графику функции

Рис. 3
Формульный способ

Словесный алгоритм используется практически во всех правилах выполнения действий, например, правило сложения чисел с разными знаками (см. рис. 4).

Алгоритм сложения чисел с разными знаками

Рис. 4
Словесный алгоритм

В старших классах работа становится разнообразней и содержательней, появляется возможность включать упражнения разного типа и уровня сложности, предполагающее, что приемы деятельности могут быть разной степени сложности и обобщенности. Они состоят из большого числа действий, выполнение которых приводит к применению алгоритмов на отдельных этапах работы.

Такой подход к преподаванию математики в основной школе определяет условия для формирования у учащихся навыков, позволяющих в старших классах успешно изучать базовый курс “Информатики и ИКТ”. Применение алгоритмов в старших классах, по мнению некоторых учителей, отбивает творческий подход к решению задач, но с другой стороны, твердое знание основных задач курса и умение их решать, является твердым фундаментом для активизации самостоятельной и творческой работы учащихся.

Источник

Использование алгоритмов при обучении математике

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Использование алгоритмов при обучении математике

Начиная работать с первокурсниками, я каждый год сталкиваюсь с одними и теми же проблемами:

1. Низкая мотивация обучению математике;

2. Отсутствие базовой подготовки по математике за курс девятилетней школы;

3. Различный интеллектуальный уровень учащихся ;

4. Отсутствие межличностных связей у учащихся. Много детей из социально запущенных семей или склонных к правонарушениям, в которых родители самоустраняются от их воспитания и ребята чаще всего предоставлены сами себе.

Возникает необходимость поиска средств по повышению уровня подготовки учащихся, развития их познавательного и творческого потенциала, внедрения современных образовательных технологий. Вовлечение обучающихся в работу, которая позволит им применить полученные знания в новых условиях, придаст деятельности поисковых характер и, в целом, приведет к созданию особой интеллектуальной среды. Всё это послужило причиной поиска активных методов работы, направленных на усвоение знаний на уроках математики с учетом индивидуальных возможностей учащихся. Поэтому я выбрала тему «Использование алгоритмов при обучении математике».

Используя алгоритмы, преподаватель может применять методы обучения, наиболее подходящие к сложившимся условиям, предвидеть, прогнозировать возможные последствия их применения, преодолевать многочисленные трудности, встречающиеся на практике, а затем практически проверять свои выводы.

Стремительно вырос объем информации, необходимой человеку для успешной профессиональной деятельности. Современное образование должно успевать за этими изменениями в жизни. Сегодня мы должны учить учащихся так, чтобы никакие, даже самые глубокие изменения в окружающем мире не смогли поставить их в тупик. Для этого очень хорошо подходит использование алгоритмов в обучении не только математике, но и другим предметам.

Поэтому свою цель, как учителя математики, я вижу в формирования алгоритмического стиля мышления учащихся. Работа по алгоритмам развивает интерес учащихся к процессу обучения, они стремятся решение любой проблемы представить в виде алгоритма, не только на математике, но и на других предметах, что развивает их творческое и конструктивное мышление. Алгоритмизация обучения предполагает единство между анализом и синтезом и активно влияет на развитие творческого мышления учащихся. Свободное творчество возможно только на базе осознанных алгоритмов. Подтверждение этому я вижу, когда обучающиеся составляют алгоритмы в решении практических задач по другим предметам, особенно по специальным предметам. Например, как правильно разбортировать колесо, какова последовательность действий для начала движения электровоза и т.д.

Таким образом, использование алгоритмического подхода в процессе обучения способствует не только совершенствованию форм и методов обучения, но и направленности образовательного процесса на личностное развитие обучающегося, выработке у них алгоритмических навыков, позволяющих формировать умение самостоятельно приобретать знания в дальнейшем.

В результате работы на этой темой я пришла к следующим выводам:

2. Алгоритмическая форма представления учебного материала курса математики способствует созданию основы для выработки навыков усвоения действий, адекватных понятиям и теоремам математики.

3. Использование алгоритмов позволит дифференцированно управлять процессом усвоения математических знаний.

4. Формирование алгоритмических умений, заключающихся в построении алгоритмических предписаний и схем, анализе и коррекции действий по выполнению и составлению алгоритмов, являющихся составляющими повышения качества знаний учащихся.

5. Недостатки в усвоении знаний учащимися при обучении математике возможно преодолеть при условии совершенствования процесса обучения, в котором используется алгоритмический подход.

6. Внедрение алгоритмического подхода в процесс изучения математики позволяет использовать идею алгоритмизации не только при решении конкретных задач, но и при организации учебного процесса.

7. Разработанная методика может быть использована на уроках, где решение задач поддается описанию с помощью алгоритмических предписаний.

8. Результаты введения алгоритмического подхода при изучении математики подтвердили ее важность и значимость для повышения качества знаний учащихся.

В своей работе я использую следующие алгоритмы:

I Алгоритм исследования функции на монотонность и экстремумы

1. Найти область определения функции D ( f ).

2. Найти производную f I ( x ).

3. Найти критические точки f I ( x )=0,

Решить уравнение: f I ( x )=0,

4.Сделать чертеж:

1) На числовой прямой расставить точки: x _1, x _2, x ₃

2) Вычислить f I ( x ) в точке х₀ и расставить знаки «+» и «-на всех промежутках.

3) Определить промежутки возрастания и убывания и точки максимума и минимума.

II Алгоритм решения линейного уравнения

а) умножить число, стоящее перед скобкой на каждое слагаемое в скобках.

б) помни: при умножении чисел с одинаковыми знаками получаем «+», а

при умножении чисел с разными знаками получаем «-«.

2. Перенести слагаемые с неизвестными в левую часть, а известные слагаемые в правую.

помни: при переносе слагаемых из одной части в другую знак слагаемого меняется,

при переносе слагаемых в одной части знак слагаемого сохраняется.

3. Привести подобные слагаемые в каждой части уравнения, получить уравнение вида:

4. Найти корень уравнения:

III Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке

1. Найти область определения функции D (f )

2. Найти производную f ‘(x)

3. Найти критические точки f ‘( x ) = 0

5. Вычислить значения функции в критических точках, входящих в данный промежуток, и на концах отрезка.

3.Критические точки- f | ( x )=0

5. Вычислить значения функции f ( x ) при х = 0; 1;3

6.Ответ: f_max = f (3) = 25 на промежутке [0; 3]

f_min = f (1) = 5 на промежутке [0; 3]

IV Алгоритм решения иррациональных уравнений

Уравнения, содержащие неизвестное под знаком корня называются иррациональными.

1. Привести данное уравнение к виду:

= g ( x ).

2. Возвести обе части уравнения и n-ую степень (в квадрат).

n = ( g ( x )) n

3. Решить полученное уравнение:

4. Сделать проверку.

Пример: решить уравнение: + x =7

1. + x =7

2.

3. Возведем обе части уравнения в квадрат

2 = ) 2

Решим полученное уравнение:(смотри справочный материал)

2 x +1 = 49-14 x + x 2 4. Сделаем проверку:

Решим по теореме Виета х=12

x ₁ * x ₂ =48 +4 =7

x ₁ = 12; x ₂ = 4 7 = 7 –верно

( a + b ) 2 = a 2 + 2 ab + b 2

(x-3) 2 = x 2 – 2*x*3 + 3 2 = x 2 – 6x + 9

(3 x + 4) 2 = (3 x ) 2 + 2*3 x *4 + 4 2 = 9 x 2

V Алгоритм решения показательных уравнений

1. Привести уравнение к виду:

=

2. Так как степени равны, основания степеней равны, то и показатели степеней равны, поэтому составим уравнение:

3. Определить тип уравнения и решить его.

Найти корни уравнения.

=

=

=1

=1

0 х₁+ х_{2 =} 3

Источник

Применение алгоритмов при обучении школьников математике

Разделы: Математика

Сложившаяся в школе методическая система обучения ориентирована на возможно более высокий уровень усвоения школьником содержания предмета. Такая ориентация была довольно естественна в условиях, когда среднее образование получала наиболее подготовленная часть школьников, которые намеревались продолжить своё образование в высших учебных заведениях. Сложности возникли уже в то время и особенно обострились теперь, когда в десятые классы школы приходят ученики (от 30% до 60% общего числа десятиклассников) не только не знающие таблицу умножения, не умеющие решать простейшие уравнения типа 6х = 1, складывать обыкновенные дроби, но и просто ненавидящие математику. В этих условиях ориентация на максимум усвоения учебного материала приводит к заметной перегрузке более слабых учащихся. Они находятся в дискомфортном положении не справляющихся с учёбой; развивается чувство собственной неполноценности, которое по законам психологии требует вытеснения, поиска удовлетворения в других сферах.

Выход из этой ситуации в осуществлении дифференцированного подхода к обучению учащихся на основе явного выделения уровня математической подготовки, обязательного для каждого ученика школы. Следует иметь в виду, что ограничение требований к части учащихся связанное с ориентацией на обязательный минимум знаний, вовсе не означает ослабление учебной дисциплины или снижения требовательности к сильным учащимся. Скорее, выделение элементарного уровня овладения математическими умениями позволяет формировать умения применять известные способы и приёмы решения задач в усложнённых и новых ситуациях, а также поднимать уровень, соответствующий повышенным оценкам, естественным образом.

Работая последние года в старших классах школы, принимая учащихся из разных школ города, от разных учителей, ребят с низким темпом продвижения в обучении, испытывающих затруднения при усвоении нового материала, имеющих существенные пробелы в знаниях, я была вынуждена решать сложную педагогическую задачу: достижения всеми учениками уровня обязательных результатов обучения.

Не претендуя на решение этой неразрешимой проблемы, думаю, что можно терпимо относиться к тем пробелам в знаниях, которые непосредственно не мешают пониманию учебного материала. Если ученик твёрдо заучил формулы и алгоритмы, даже не вполне понимая их смысл, и умеет применять их при решении упражнений, то у слабых учащихся вполне можно удовлетвориться выработкой автоматизма. Это и побудила меня заняться изучением и применением на практике алгоритмизации обучения.

Под алгоритмом в педагогической психологии обычно понимают точное, общепонятное описание определённой последовательности интеллектуальных операций, необходимых и достаточных для решения любой из задач, принадлежащих некоторому классу.

Алгоритмическая деятельность может быть описана разными способами: в виде программы обычного алгоритма, в виде формулы, правила, с помощью инструкции к таблице и т. д. Каждый из них можно назвать способом задания алгоритма решения задач определённого вида. Чем же отличаются эти способы задания от обычного способа задания алгоритма в виде пошаговой задачи? Основное отличие в том, что формула, таблица, правило являются свёрнутыми, между тем, как обычная программная форма является развёрнутой. Алгоритм, заданный в виде формулы, правила и т. д., такой программы явно не представляет: она предполагается, но не дана, её ещё надо представить и вывести. В наших учебниках дают алгоритмы, как правило в свёрнутом виде, а ученик не умеет самостоятельно преобразовывать его в развёрнутый вид, единственно пригодный для решения задачи.

Так, например, формула (а + в) 2 = а 2 + 2ав + в 2 в свёрнутом виде обозначает алгоритмом возведения в квадрат суммы двух выражений. Чтобы применить её для решения какой-либо задачи, ученик должен уметь развернуть её (устно, в уме) в алгоритм – программу:

1. Указать первое и второе выражение.

2. Найти квадрат первого выражения.

3. Найти удвоенное произведение первого и второго выражения

(можно сначала произведение, а затем удвоить)

4. Найти квадрат второго выражения.

5. Записать сумму (п. 2, 3, 4).

Можно составить программу иначе, подобно алгоритму квадрата разности двух выражений:

1. Указать первое и второе выражение

(назвать первое и второе выражение)

2. После знака равенства записать квадрат первого выражения.

3. Вычесть удвоенное произведение первого и второго выражения.

4. Прибавить квадрат второго выражения.

5. Каждое слагаемое записать в стандартном виде.

При составлении такого типа алгоритмов – программ удобнее формулы записать в виде:

Важно научить учащихся переходить от формулы, словесного правила, определения и т. д. к алгоритму – программе реализации этой формулы, правила и т. д., научить ребят строить программы по свёрнутым формам задания алгоритмов.

Обучение алгоритмам можно производить по-разному. Давать учащимся алгоритмы в готовом виде, чтобы они могли их просто заучить, а затем закрепить во время упражнений. Но можно организовать учебный процесс и так, чтобы алгоритмы “открывались” самими учащимися. Этот способ наиболее ценный в дидактическом отношении.

Психологически было замечено, что, решая какую-либо задачу с помощью алгоритма, ученик идёт одним путём. Разбирая следующее, аналогичное задание, не может выделить частный случай; в связи с этим возникает у учащихся неуверенность в своих действиях и решениях. Особое внимание поэтому необходимо обратить на изучение алгоритмов распознавания (т. е. таких алгоритмов, которые предписывают, что и как нужно делать, чтобы распознать к какому классу принадлежит данный объект).

Алгоритм составления уравнения касательной к графику функции.

Уравнение касательной

Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения функций.

1.	Выяснить, определена ли и является ли функция непрерывной на указанном отрезке [a;b] или промежутке (а;b)
2.	Найти производную функции
3.	Найти критические точки (точки, в которых или не существует)
4.	Выбрать критические точки принадлежащие [a;b] или (а;b)
5.	Если [a;b] Найти значение функции в критических точках (внутри отрезка) и на его концах	Если (а;b) Определить вид экстремума в критических точках (внутри интервала) и вычислить его значение
6.	Из найденных значений выбрать наибольшее и наименьшее	Выбрать наибольшее и наименьшее из минимумов и максимумов функции соответственно
7.	Выписать ответ

Знакомство учащихся с алгоритмами решения задач осуществляется на уроке – лекции. Многие ребята имеют отдельную тетрадь, в которую записывают предписания и образец выполнения задания. Дальнейшая отработка выполняется на практических занятиях при различных формах работы (фронтальной, групповой, индивидуальной). В целях оперативного контроля за усвоением алгоритма очень часто (каждый урок или через урок) провожу небольшие самостоятельные работы, цель которых – не выставление оценок, а выявление тех учащихся, которые что-то не поняли. Этим ребятам оказывается оперативная помощь консультантами или объясняю ещё раз, вызывая к доске. При организации работы в группах, часть учащихся получает задания, направленные на достижение обязательных результатов обучения, причём, некоторые имеют перед собой образец выполнения задания, а другие – только алгоритм, более сильные учащиеся получают задания на продвинутом уровне. На таком уроке моя работа сосредоточена на более слабых учениках, в сильной группе, как правило, всегда коллективными усилиями находят верное решение, самостоятельно применяя знания и приёмы деятельности в новой ситуации. Оценивая учащихся, не спешу выставлять оценки в журнал, всегда даю возможность получить более высокую отметку и обязательно поправить “двойку”, для этого ученик должен сделать работу над ошибками самостоятельно или с помощью консультантов (с моей помощью), а затем решить аналогичное задание на уроке.

Главное, что со временем ребята перестают бояться “двоек”, смелее задают вопросы, справляются с задачами обязательного уровня, и очень обидно, когда верно применяя алгоритм решения на контрольной работе, допускают вычислительные ошибки.

Обучение алгоритмам даёт возможность достичь обязательного уровня обучения наиболее слабым учащимся и не может привести стандартизации мышления и подавлению творческих сил детей, так как выработка различных автоматизированных действий (навыков) – необходимый компонент творческого процесса, без них он просто невозможен.

Обучение алгоритмам не сводится к их заучиванию, оно предполагает и самостоятельное открытие, построение и формирование алгоритмов, а это и есть творческий процесс. Наконец, алгоритмизация охватывает далеко не весь учебный процесс, а лишь те его компоненты, где она является целесообразной. Система алгоритмов – программ позволяет в определённой мере автоматизировать учебный процесс на этапе формирования навыков в решении типовых задач и создаёт широкие возможности для активной самостоятельной работы учащихся.

Источник