Что идеализирует плоскость приведите примеры
Презентация была опубликована 9 лет назад пользователемlyalichi64.ucoz.ru
Похожие презентации
Презентация на тему: » Точки Точка является идеализацией очень маленьких объектов, т. е. таких, размерами которых можно пренебречь. Древнегреческий ученый Евклид, впервые давший.» — Транскрипт:
1 Точки Точка является идеализацией очень маленьких объектов, т. е. таких, размерами которых можно пренебречь. Древнегреческий ученый Евклид, впервые давший научное изложение геометрии, в своей книге «Начала» определял точку как то, что не имеет частей. Точки изображаются остро отточенным карандашом или ручкой на листе бумаги, мелом на доске и т.п. Точки обозначаются прописными латинскими буквами A, B, C. A 1, B 2, C 3. A’, B», C»’.
2 Прямые и плоскость Прямая является идеализацией тонкой натянутой нити, края стола прямоугольной формы. По прямой распространяется луч света. Прямые проводятся на листе бумаги или доске с помощью линейки. Хотя изображения прямых ограничены, их следует представлять себе неограниченно продолженными в обе стороны. Прямые обозначаются строчными латинскими буквами a, b, c. a 1, b 2, c 3. a’, b», c»’. или двумя прописными латинскими буквами AB, CD. A 1 B 1, C 2 D 2. A’B’, C»D». Плоскость является идеализацией ровной поверхности воды, поверхности стола, доски, зеркала и т.п.
3 Точки и прямые Две прямые называются пересекающимися, если они имеют одну общую точку. Две прямые называются параллельными, если они не имеют общих точек. В качестве аксиомы принимается следующее свойство прямых: Через любые две точки проходит единственная прямая Точка может принадлежать данной прямой, в этом случае говорят также, что прямая проходит через точку, а может и не принадлежать ей, в этом случае говорят, что прямая не проходит через точку.
4 Обозначения ЗаписьЧтение Точка A, точка B, точка C, …A, B, C, … a, b, c, … AB, CD, … Прямая a, прямая b, … Прямая AB, прямая CD, … Точка A принадлежит прямой a. Точка B не принадлежит прямой a.
5 Вопрос 1 Какие геометрические фигуры являются основными? Ответ: Точка, прямая, плоскость.
6 Вопрос 2 Какие объекты идеализирует точка? Ответ: Точка является идеализацией очень маленьких объектов, т.е. таких, размерами которых можно пренебречь.
7 Вопрос 3 Какие объекты идеализирует прямая? Ответ: Прямая является идеализацией тонкой натянутой нити, края стола прямоугольной формы, по прямой распространяется свет.
8 Вопрос 4 Какие объекты идеализирует плоскость? Ответ: Плоскость является идеализацией ровной поверхности воды, поверхности стола, доски, зеркала и т.п.
9 Вопрос 5 Как Евклид определял точку? Ответ: Евклид определял точку как то, что не имеет частей.
10 Вопрос 6 Как изображаются точки? Ответ: Точки изображаются остро отточенным карандашом или ручкой на листе бумаги, мелом на доске и т.п.
11 Вопрос 7 Как обозначаются точки? Ответ: Точки обозначаются прописными латинскими буквами A, B, C, ….
12 Вопрос 8 Как проводятся прямые? Ответ: Прямые проводятся на листе бумаги или доске с помощью линейки.
13 Вопрос 9 Как обозначаются прямые? Ответ: Прямые обозначаются строчными латинскими буквами a, b, c. или двумя прописными латинскими буквами AB, CD.
14 Вопрос 10 Какие свойства основных геометрических фигур называются аксиомами? Ответ: Аксиомами называются свойства геометрических фигур, принимаемые без доказательства.
15 Вопрос 11 Как переводится слово «аксиома» с греческого языка? Ответ: Достойное признания, не вызывающее сомнения.
16 Вопрос 12 Как могут располагаться друг относительно друга точка и прямая? Ответ: Точка может принадлежать данной прямой, а может и не принадлежать ей.
17 Вопрос 13 Какое свойство принимается в качестве аксиомы взаимного расположения точек и прямой? Ответ: Через любые две точки проходит единственная прямая.
18 Вопрос 14 Какие две прямые называются пересекающимися? Ответ: Две прямые называются пересекающимися, если они имеют одну общую точку.
19 Вопрос 15 Какие две прямые называются параллельными? Ответ: Две прямые называются параллельными, если они не имеют ни одной общей точки.
20 Упражнение 1 Сколько прямых можно провести через: а) одну точку; б) две точки? Ответ: а) Бесконечно много; б) одну.
21 Упражнение 2 Сколько прямых можно провести через три точки? Ответ: Либо одну, либо ни одной.
22 Упражнение 3 Сколько прямых изображено на рисунке? Сколько у них точек попарных пересечений? Ответ: 5 прямых, 10 точек.
23 Упражнение 4 Сколько прямых можно провести через различные пары из трех точек, не лежащих на одной прямой? Ответ: Три.
24 Упражнение 5 Сколько прямых можно провести через различные пары из четырех точек, ни какие три из которых не лежат на одной прямой? Ответ: 6.
25 Упражнение 6 Сколько прямых можно провести через различные пары из пяти точек, ни какие три из которых не лежат на одной прямой? Ответ: 10.
26 Упражнение 7* Сколько прямых можно провести через различные пары из n точек, ни какие три из которых не лежат на одной прямой? Решение: Пусть A 1, …, A n – n точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Зафиксируем точку A 1. Так как число оставшихся точек равно n – 1 и через каждую из них и точку A 1 проходит одна прямая, то через точку A 1 будет проходить n – 1 прямая. Заметим, что рассуждения, проведенные для точки A 1, справедливы для любой другой точки. Поскольку всего n точек и через каждую из них проходит n – 1 прямая, то число прямых, посчитанных для всех точек, будет равно n(n – 1). При этом, поскольку одна прямая проходит через две точки, то каждую прямую посчитаем дважды, один раз как прямую, проходящую через одну точку, а другой – как прямую, проходящую через вторую точку. Поэтому число прямых, проходящих через различные пары из n данных точек, будет равно.
27 Упражнение 8 Сколько различных точек попарных пересечений могут иметь три прямые? Ответ: Ни одной, одну, две, три.
28 Упражнение 9 Какое наибольшее число точек попарных пересечений могут иметь четыре прямые? Ответ: 6.
29 Упражнение 10 Какое наибольшее число точек попарных пересечений могут иметь пять прямых? Ответ: 10.
30 Упражнение 11* Какое наибольшее число точек попарных пересечений могут иметь n прямых? Решение: Заметим, что наибольшее число точек попарных пересечений получается, если каждая прямая пересекается с каждой, и при этом никакие три прямые не пересекаются в одной точке. В этом случае каждая прямая имеет n – 1 точку пересечения с остальными прямыми, и мы находимся в ситуации, аналогичной ситуации задачи 7. Имеется n прямых и на каждой прямой n – 1 точка. При этом, каждая точка принадлежит ровно двум прямым. Следовательно, число точек попарных пересечений будет равно.
Рабочая тетрадь по геометрии
Онлайн-конференция
«Современная профориентация педагогов
и родителей, перспективы рынка труда
и особенности личности подростка»
Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
ГАПОУ РБ «ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ТЕХНИКУМ»
Рабочая тетрадь по геометрии: учебное пособие «Общество, 34 страницы.
О.Н.Кузнецова – преподаватель I категории МАОУ «Каменский лицей имени Кожевина В.Е.
Рассмотрено и одобрено на заседании ПМК №4 «Общеобразовательных дисциплин»
Учебное пособие включает в себя комплекс заданий для проверки приобретенных студентами знаний, умений и навыков, (тесты, схемы, творческие задания) и позволяет лучше усвоить пройденный материал. Учебное пособие предназначено для студентов СПО специальностей 08.02.01 «Строительство и эксплуатация зданий и сооружений», 15.02.01 «Монтаж и техническая эксплуатация промышленного оборудования» для выполнения самостоятельных работ по дисциплине обществознание.
© Каменский филиал ГАПОУ РБ «Политехнический техникум»
Параллельность прямых в пространстве…………………………………4
Признак параллельности прямой и плоскости…………………………. 7
Параллельность двух плоскостей…………………………………………8
Перпендикулярность прямой и плоскости……………………………….13
Перпендикуляр и наклонная………………………………………………14
Угол меду прямой и плоскостью………………………………………….16
Расстояние между точками, прямыми и плоскостями……………. 17
Центральное проектирование. Изображение пространственных фигур
в центральной проекции……………………………………………. …..25
Аксиома №1. Через любые три точки, ______________________________
____________ проходит плоскость, и притом ________________________.
Аксиома №2. Если две токи прямой лежат в плоскости, то ___________
______________ лежат в этой плоскости.
Аксиома №3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют___
_________________, на которой лежат _________________________этих плоскостей.
Теорема №1. Через прямую и _______________________ точку проходит плоскость, и притом _________________.
Теорема №2. Через две ___________________________ прямые проходит плоскость, и притом __________________.
Назовите основные понятия стереометрии.
Почему они вводятся?
Что идеализирует плоскость? Приведите примеры
Могут ли две плоскости иметь только одну общую точку? Ответ обоснуйте.
Как переводится термин «аксиома»?
Зачем нужны аксиомы?
Что идеализирует прямая в пространстве? Приведите примеры.
Сколько плоскостей проходит через три точки? Ответ обоснуйте.
1) Утверждение, принимаемое на веру без доказательства.
2) Наука о свойствах геометрических фигур.
3) Рассуждение по определенным правилам, обосновывающее какое-либо утверждение.
4) Доказанное утверждение, полезное не само по себе, а для доказательства других утверждений.
5) Раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур на плоскости.
6) Абстрактный объект в пространстве, не имеющий никаких измеримых характеристик.
ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ ПРЯМЫХ В ПРОСТРАНСТВЕ
Определение. Две прямые в пространстве называются параллельными, если _________________________________________ и не пересекаются.
Теорема №1. Через любую точку пространства, ______________________,
проходит прямая, __________________, и притом только одна.
Теорема №2. Если две прямые параллельны __________________, то они ______________.
Лемма. Если одна из двух параллельных прямых ____________________,
то и другая ___________________________ эту плоскость.
Какой многогранник называется параллелепипедом?
Что идеализирует прямая?
Докажите, что через прямую k и не принадлежащую ей точку H можно провести плоскость.
Сколько плоскостей можно провести через одну прямую? Почему?
Какой многогранник называется пирамидой?
Что идеализирует плоскость?
Сколько плоскостей можно провести через две точки? Почему?
Три случая взаимного расположения двух прямых в пространстве:
А) прямые пересекаются, т.е. ___________________________________
Б) прямые параллельны, т.е. ____________________________________
В) прямые скрещиваются, т.е. __________________________________
Определение. Две прямые называются скрещивающимися, если _______________________ плоскости.
Теорема №1. Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, ______________________________________, то эти прямые скрещивающиеся.
Теорема №2. Через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит плоскость, ____________________________, и притом только одна.
Теорема №3. Если стороны двух углов ______________________, то такие углы равны.
В правильной пятиугольной призме A … E запишите все ребра, параллельные ребру AB .
В правильной восьмиугольной пирамиде SA… A запишите пару параллельных ребер.
Найдите число диагоналей в параллелепипеде.
Г) не пересекающимися
2) Сколько прямых проходит через точку, не лежащую на данных параллельных плоскостях, пересекающих две скрещивающихся прямые?
3) Сколько общих перпендикуляров имеют две любые скрещивающиеся прямые?
4) Сколько плоскостей может проходить через каждую из двух скрещивающихся прямых?
5) Три точки A, B, C принадлежат некоторой плоскости и не лежат на одной прямой. Точка D принадлежит данной плоскости. Сколько пар скрещивающихся прямых определяют данные точки?
ПРИЗНАК ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ
Определение. Прямая и плоскость называются _______________, если они не имеют общих точек (а || 
)
Признак параллельности прямой и плоскости.
Теорема. Если прямая, не лежащая в данной плоскости, _____________________, лежащей в этой плоскости, то она параллельна самой плоскости.
Замечания. Если плоскость проходит через данную прямую, параллельную другой плоскости, ____________________, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой.
Если одна из двух параллельных ____________________, а другая прямая ____________________ точку, то эта прямая лежит в данной плоскости.
Случаи взаимного расположения прямой и плоскости:
а) прямая лежит в плоскости;
б) прямая и плоскость имеют только одну общую точку;
в) прямая и плоскость не имеют ни одной общей точки.
Используя признак параллельности прямой и плоскости, укажите параллельные прямые и плоскости, проходящие через вершины правильной шестиугольной призмы A … F .
Плоскость проходит через середины двух сторон треугольника. Как расположены относительно друг друга третья сторона треугольника и данная плоскость? Ответ обоснуйте.
ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ ДВУХ ПЛОСКОСТЕЙ
Определение. Две плоскости параллельны, если они не имеют общих точек .
Теорема. Плоскости параллельны друг другу, если две пересекающиеся прямые, лежащие в одной плоскости, соответственно параллельны двум пересекающимся прямым, лежащим в другой плоскости .
Свойства параллельных плоскостей:
Если две плоскости параллельны третьей, то они параллельны друг другу.
Линии пересечения двух параллельных плоскостей третьей плоскостью параллельны.
. 
Отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями, равны.
Докажите, что в кубе A … D диагональ BD параллельна грани ABCD _____________________________________________________________________________________________________________________________.
*3) Можно ли построить плоскость, проходящую через данную прямую и параллельную другой данной прямой? Ответ обоснуйте.
Векторы а, b, c коллинеарны. Векторы АС, BD, и СВ коллинеарны.
Коллинеарные векторы могут иметь одно и то же направление (______________________ векторы) или противоположные.
Так, векторы а и с равнонаправлены, векторы а и b (а также b и c) противоположно направлены. Векторы АС и BD равнонаправлены, векторы АС и СВ противоположно направлены.
Векторы a и b коллинеарны. Будут ли коллинеарны векторы:
Составь вопросы к кроссворду
Можно ли по параллельной проекции точки на плоскость определить положение точки в пространстве?
В каком случае положение прямой в пространстве определяется заданием ее параллельной проекции на плоскость?
Сохраняются ли при параллельном проектировании углы? ________________________________________________________________________________________
Верно ли утверждение: «Параллельная проекция прямой есть прямая?» __________________________________________
Может ли проекция прямой быть параллельной самой прямой, данной в пространстве? _______________________________________________________
В какую фигуру может проектироваться ромб? _____________________________________________________
Справедливо ли утверждение: «Параллельные прямые проектируются в параллельные прямые или в одну прямую?» _______________________________________________________________
При каком условии квадрат проектируется в квадрат? __________________________________________________________
В какую фигуру может проектироваться трапеция? _________________________________________________________
ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ
Определение. Две прямые в пространстве называются ________________, если угол между ними _________.
Перпендикулярные прямые могут _____________ и могут быть скрещивающимися.
Лемма. Если одна из двух параллельных прямых ___________________, то и другая прямая ______________ к этой прямой.
Определение. Прямая называется ______________ к плоскости, если она перпендикулярна к ______ прямой, лежащей в плоскости.
Связь между параллельностью прямых и их перпендикулярностью к плоскости.
Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости.
Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны.
Признак перпендикулярности прямой и плоскости.
В кубе A … D найдите угол между прямыми AB и DB . ______________________________________________________________
Через точку, не принадлежащую прямой, проведите перпендикулярную ей прямую. Сколько таких прямых можно провести? ____________________________________________________________________________________________________________________
Даны плоскость и параллельная ей прямая. Сколько прямых, перпендикулярных этой прямой, можно провести в данной плоскости? _____________________________________________________________________________________________________________________
В кубе A … D докажите перпендикулярность BD и AC . _____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
ПЕРПЕНДИКУЛЯР И НАКЛОННАЯ
Определение. Наклонной, проведенной из ____________ к данной плоскости, называется любой отрезок, ____________ данную точку с точкой плоскости, не являющийся _____________ к плоскости.
Конец отрезка, ____________ в плоскости, называется основанием наклонной .
Перпендикуляром, проведенным из данной точки к данной плоскости, называется отрезок, ________________ данную точку с точкой плоскости и ____________________, перпендикулярной плоскости.
Конец этого отрезка, лежащий в плоскости, называется основанием перпендикуляра .
Расстоянием от ______________ называется длина перпендикуляра , проведенного из этой точки к ____________.
Отрезок, соединяющий основания ______________ и наклонной, проведенных из _____________ точки, называется проекцией наклонной .
Треугольник ABC прямоугольный.
Углом между наклонной и плоскостью называется угол между этой ________ и её _____________ на плоскость.
В кубе A … D проведите из точки D перпендикуляр на плоскость ACB . __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
1. Верно ли утверждение?
а) Длина перпендикуляра, опущенного из данной точки на плоскость, называется расстоянием от точки до плоскости;
б) Конец наклонной, лежащий вне данной плоскости, называется основанием наклонной;
в) Если прямая параллельна плоскости, то все ее точки находятся на одинаковом расстоянии;
г) Если к плоскости проведены две наклонные, то их проекции на плоскость равны.
2. Продолжи предложение.
а) Угол между прямой ВС и плоскостью α равен 40°. Найдите угол между прямой ВС и прямой BD, перпендикулярной к плоскости α. Угол равен … _________________________________
б) Отрезок BD – перпендикуляр к плоскости равнобедренного треугольника АВС, М – середина основания АС. Тогда СМD = … _____________________________________
УГОЛ МЕЖДУ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТЬЮ
Докажите, что две параллельные наклонные прямые к одной плоскости образуют с ней равные углы. _____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
*3) Сформулируйте утверждение, обратное утверждению предыдущей задачи 2. Верно ли оно? ___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
РАССТОЯНИЕ МЕЖДУ ТОЧКАМИ, ПРЯМЫМИ И ПЛОСКОСТЯМИ
1. Расстояние между параллельными плоскостями.
Определение. Расстоянием между параллельными плоскостями
называют _______________, опущенного из любой точки одной
плоскости на другую. В самом деле, все перпендикуляры между
двумя параллельными плоскостями равны, потому что _________________, заключенные между параллельными
плоскостями, равны.
Примером расстояния между параллельными плоскостями может служить высота призмы, высота потолка в комнате и т.д.
2. Расстояние между плоскостью и параллельной ей прямой.
Определение. Расстоянием между плоскостью и параллельной
3. Расстояние между скрещивающимися прямыми. Сначала дадим понятие общего перпендикуляра скрещивающихся прямых.
Определение. Общим перпендикуляром двух скрещивающихся прямых называется отрезок с концами на ___________ и перпендикулярный к _____ из них.
В кубе A … D с ребром b найдите расстояние между скрещивающимися прямыми BC и AC и их общий перпендикуляр. _____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Ребро правильного тетраэдра равно 1. Найдите расстояние между его скрещивающимися ребрами. _____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Если в пространстве пересекаются две плоскости, получаются _________________________ (аналогично как при пересечении ___________ получаются четыре угла).
Полуплоскости α и β, образующие двугранный угол, называются __________.
Общая прямая a этих граней называется ребром двугранного угла.
Величина двугранного угла 0° ∡ ACB
Если плоскости _____________, то угол между ними равен 0° по определению.
Если при пересечении плоскостей один из двугранных углов 90°, то ______________ 90°. Эти плоскости называют перпендикулярными.
_________, __________, __________
Признак перпендикулярности двух плоскостей.
Докажите, что пересекающиеся грани прямоугольного параллелепипеда перпендикулярны. _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Докажите, что плоскости диагональных сечений ABCD и BADC куба A … D перпендикулярны. _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
1. К чему ещё перпендикулярна прямая, проведённая в плоскости через основание наклонной и перепендикулярно к ней.
2 .(по горизонтали) Расстояние от точки до плоскости
2 .(по вертикали) К каким двум прямым плоскости должна быть перпендикулярна третья прямая, чтобы сделать вывод о том, что она перпендикулярна к этой плоскости?
градусной мерой и двугранного угла
7. Она равна сумме квадратов трёх измерений прямоугольного параллелепипеда