что показывает эмпирическая функция распределения

Эмпирическая функция распределения

Что называют эмпирической функции распределения

Допустим, известно статистическое распределение частот количественного признака Х. Обозначим n_х – количество наблюдений со значением меньше x₁, n – всего наблюдений. Очевидно, что относительная частота события Х Определение

Эмпирическая функция распределения – это функция F*(x), которая определяет для каждого значения x относительную частоту события X

Данное понятие можно записать в виде формулы:

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

В этой записи n_x – количество вариантов, меньших x; n – объем выборочной совокупности.

Таким образом, функция распределения выборки помогает оценить теоретическую функцию распределения.

Как найти

Выборочная функция распределения для случайной величины рассчитывается по формуле:

Данное равенство читается так: функция распределения равна вероятности события, при котором случайная величина будем меньше x.

Поскольку при условии, что x меньше или равно 1, событие ξ₂₀ \(F(x)=P(\xi20

При принадлежности x отрезку (1; 2] событие ξ₂₀ \(F(x)=P(\xi20

Когда x принадлежит отрезку (2; 4], событие ξ₂₀ \(F(x)=P(\xi20

Итак, эмпирическая функция распределения имеет следующий вид:

Как построить график

Построение графика эмпирической функции распределения возможно после вычисления ее значений на всей числовой оси. Для рассмотренного примера схематическое изображение будет выглядеть так:

График ступенчатого вида, построенный на отрезках. Совпадение графика с горизонтальной осью означает, что левее минимального значения x=1 функция приобретает значение нуля. Увеличение в каждой следующей точке x_i происходит на величину вероятности ν_i. Правее максимального значения х₈=13 функция равна 1. Стрелки и точки на концах отрезков указывают на определение функции на полуинтервалах.

Примеры задач

Задача

В таблице даны значения эмпирического распределения:

Необходимо найти объем выборочной совокупности, составить выборочную функцию распределения, построить ее график.

Решение

Источник

Эмпирическая функция распределения

Эмпирической (опытной) функцией распределения или функцией распределения выборки называют такую функцию, которая определяет для каждого значения x частоту событий X

Дана таблица функции распределения выборки. Требуется построить эмпирическую функцию распределения

Из таблицы n=40, т.е.
n=4+10+6+8+7+5=40
Вычислим функцию распределения выборки

Эмпирическая функция распределения имеет вид

Построим график кусочно-постоянной эмпирической функции распределения

таким образом, по данным выборки можно приближенно построить функцию для неизвестной функции выборки.

Насколько публикация полезна?

Нажмите на звезду, чтобы оценить!

Средняя оценка 4.7 / 5. Количество оценок: 35

Оценок пока нет. Поставьте оценку первым.

2 комментария

У вас опечатка, где вы написали n=30, n=4+10+6+8+7+5=30 и F_30, так как n=40.

Исправили. Спасибо Вам большое за внимательность)

Источник

Эмпирическая функция распределения

Вы будете перенаправлены на Автор24

Определение эмпирической функции распределения

Одной из оценок теоретической функции распределения является эмпирическая функция распределения.

Свойства эмпирической функции распределения

Рассмотрим теперь несколько основных свойств функции распределения.

$F_n\left(x\right)$ неубывающая функция.

$F_n\left(x\right)$ непрерывная слева функция.

Готовые работы на аналогичную тему

Введем теорему, которая связывает между собой теоретическую и эмпирическую функции.

Примеры задач на нахождение эмпирической функции распределения

Пусть распределение выборки имеет следующие данные, записанные с помощью таблицы:

Найти объем выборки, составить эмпирическую функцию распределения и построить её график.

Таким образом, получаем:

Построим график эмпирического распределения:

Из городов центральной части России случайным образом выбрано 20 городов, для которых получены следующие данные по стоимости проезда в общественном транспорте: 14, 15, 12, 12, 13, 15, 15, 13, 15, 12, 15, 14, 15, 13, 13, 12, 12, 15, 14, 14.

Составить эмпирическую функцию распределения данной выборки и построить её график.

Запишем значения выборки в порядке возрастания и посчитаем частоту каждого значения. Получаем следующую таблицу:

Таким образом, получаем:

Построим график эмпирического распределения:

Получи деньги за свои студенческие работы

Курсовые, рефераты или другие работы

Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 25 02 2021

Источник

Эмпирическая функция распределения

Пусть известно статистическое распределение частот количественного признака Х. Введем обозначения: ─ число наблюдений, при которых наблюдалось значение признака, меньше х; n – общее число наблюдений (объем выборки). Ясно, что относительная частота события Х * (x), определяющая для каждого значения х относительную частоту события X * (x₂), надо число вариант, меньших x₂, разделить на объем выборки:

.

В отличие от эмпирической функции распределения выборки функцию распределения F(x) генеральной совокупности называют теоретической функцией распределения. Различие между эмпирической и теоретической функциями состоит в том, что теоретическая функция F(x) определяет вероятность события X * (x) определяет относительную частоту этого же события.

Из теоремы Бернулли следует, что относительная частота события X * (x), стремится по вероятности к вероятности этого события, то есть к значению F(x). Другими словами, при больших значениях n числа F * (x) и F(x) мало отличаются одно от другого в том смысле, что . Уже отсюда следует целесообразность использования эмпирической функции распределения выборки для приближенного представления теоретической (интегральной) функции распределения генеральной совокупности. Такое заключение подтверждается и тем, что F * (x) обладает всеми свойствами F(x).

Из определения функции F * (x) вытекают следующие ее свойства:

1) Значения эмпирической функции принадлежит отрезку [0; 1];

2) F * (x) – неубывающая функция;

3) Если x₁ ─ наименьшая варианта, то F * (x) = 0 при х * (x) = 1 при х > x_k.

Итак, эмпирическая функция распределения выборки служит для оценки теоретической функции распределения генеральной совокупности.

Пример. Построить эмпирическую функцию по данному распределению выборки:

Варианты

Частоты

Решение. Найдем объем выборки (сумма всех частот n_i):

Наименьшая варианта равна 2 (x₁ = 2), следовательно, F * (x) = 0 при х ≤ 2 (по свойству 3 функции F * (x));

значения, меньшие 6 (х * (x) = 1 при х>10 (по свойству 4 функции F * (x)).

Искомая эмпирическая функция имеет вид:

Ниже приведен график полученной эмпирической функции.

На графике на соответствующих осях откладывают значения функции F * (x) и интервалы вариант

Рис. 5. График эмпирической функции.

Полигон и гистограмма

Для наглядности строят различные графики статистического распределения, в частности, полигон и гистограмму.

Определение. Полигоном частот называют ломаную, отрезки которой соединяют точки (x₁, n₁), (x₂, n₂), …, (x_k, n_k).

Для построения полигона частот на оси абсцисс откладывают варианты x_i, а на оси ординат – соответствующие им частоты n_i. Точки (x_i, n_i) соединяют отрезками прямых и получают полигон частот.

Определение. Полигоном относительных частот называют ломаную, отрезки которой соединяют точки (x₁, w₁), (x₂, w₂), …, (x_k, w_k).

Для построения полигона частот на оси абсцисс откладывают варианты x_i, а на оси ординат w_i. Точки (x_i, w_i) соединяют отрезками прямых и получают полигон относительных частот.

На рисунке изображен полигон относительных частот следующего распределения:

Рис. 6. Полигон относительных частот.

В случае непрерывного признака целесообразно строить гистограмму, для чего интервал, в котором заключены все наблюдаемые значения признака, разбивают на несколько частичных интервалов длинной h и находят для каждого частичного интервала n_i – сумму частот вариант, попавших в i-ый интервал.

Определение. Гистограммой частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длиною h, а высоты равны отношению (плотность частоты).

Рис. 7. Гистограмма частот.

Для построения гистограммы частот на оси абсцисс откладывают частичные интервалы, а над ними проводят отрезки, параллельные оси абсцисс, на расстоянии .

Площадь i-го частичного прямоугольника равна = ─ сумме частот вариант i-го интервала; следовательно, площадь гистограммы частот равна сумме всех частот, то есть объему выборки n.

На рисунке 2 изображена гистограмма частот распределения объема n=100, приведенного в таблице 1.

Частичный интервал, длиною h=5	Сумма частот вариант частичного интервала	Плотность частоты
5 – 10	0,8
10 – 15	1,2
15 – 20	3,2
20 – 25	7,2
25 – 30	4,8
30 – 35	2,0
34 – 40	0,8

Определение. Гистограммой относительных частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длинною h, а высоты равны отношению (плотность относительной частоты).

Для построения гистограммы относительных частот на оси абсцисс откладывают частичные интервалы, а над ними проводят отрезки, параллельные оси абсцисс на расстоянии . Площадь i-го частичного прямоугольника равна = ─ относительной частоте вариант, попавших в i-й интервал. Следовательно, площадь гистограммы относительных частот равна сумме всех относительных частот, то есть единице.

1. В результате выборки получена следующая таблица распределения частот.

Построить полигоны частот и относительных частот распределения.

Для начала построим полигон частот.

Рис. 8. Полигон частот.

Чтобы построить полигон относительных частот найдем относительные частоты, для чего разделим частоты на объем выборки n.

.

	0,15	0,50	0,35

Построим полигон относительных частот.

Рис. 9. Полигон относительных частот.

2. Построить гистограммы частот и относительных частот распределения.

Найдем плотность частоты :

Частичный интервал, длиною h = 3	Сумма частот вариант частичного интервала	Плотность частоты
2 – 5
5 – 8	3,3
8 – 11	8,3
11 – 14

Построим гистограмму частот.

Рис. 10. Гистограмма частот.

Чтобы построить гистограмму относительных частот, нужно найти относительные частоты. Для этого найдем объем выборки n.

.

Теперь найдем относительные частоты :

Частичный интервал	Сумма относительных частот	Плотность частоты
2 – 5	0,18	0,06
5 – 8	0,2	0,07
8 – 11	0,5	0,16
11 – 14	0,12	0,04

Плотности частот нужно вычислить. При этом h = 3.

Построим гистограмму относительных частот.

Рис.11. Гистограмма относительных частот.

Точечные оценки

Определение. Статистической оценкой Q * неизвестного параметра Q теоретического распределения называют функцию f(x₁, x₂, …, x_n) от наблюдаемых случайных значений x₁, x₂, …, x_n.

Определение. Точечной оценкой называют статистическую оценку, которая определяется одним числом Q * = f(x₁, x₂, …, x_n), где x₁, x₂, …, x_n ─ результаты n наблюдений над количественным признаком Х (выборка).

Выборочная средняя.

Пусть для изучения генеральной совокупности относительно количественного признака Х извлечена выборка объема n.

Определение. Выборочной средней называют среднее арифметическое значение признака выборочной совокупности.

Если все значения x₁, x₂, …, x_n признака выборки объема n различны, то

Если же все значения признака x₁, x₂, …, x_k имеют соответственно частоты n₁, n₂, …, n_k, причем n₁ + n₂ + … + n_k = n, то

,

где – объем выборки.

Выборочная средняя является несмещенной оценкой генеральной средней (неизвестного математического ожидания).

Замечание. Если первоначальные варианты ─ большие числа, то для упрощения решения целесообразно вычесть из каждой варианты одно и то же

число С, то есть перейти к условным вариантам u_i = x_i – c. Тогда

.

Выборочная дисперсия.

Смещенной оценкой генеральной дисперсии служит выборочная дисперсия. Эту величину вводят для того, чтобы охарактеризовать рассеяние наблюдаемых значений количественного признака выборки вокруг среднего значения .

Определение. Выборочной дисперсией называют среднее арифметическое квадратов отклонения наблюдаемых значений признака от их среднего значения . Если значения признака x₁, x₂, …, x_k имеют соответственно частоты n₁, n₂, …, n_k, причем n₁ + n₂ + … + n_k = n, то

Эта оценка является смещенной, так как ,

где D_Г – генеральная дисперсия – среднее арифметическое квадратов отклонения значения признака генеральной совокупности от их среднего значения .

Теорема.Выборочная дисперсия равна среднему квадратов значений признака минус квадрат выборочной средней.

Для вычисления выборочной дисперсии эта формула наиболее удобна.

Оценка генеральной дисперсии по исправленной выборочной.

Пусть из генеральной совокупности в результате n независимых наблюдений

над количественным признаком Х извлечена повторная выборка объема n:

При этом n₁ + n₂ + … + n_k = n. Требуется по данным выборки найти неизвестную генеральную дисперсию D_Г. Если в качестве оценки D_Г принять выборочную дисперсию, то эта оценка будет приводить к систематическим ошибкам, давая заниженное значение D_Г. Объясняется это тем, что математическое ожидание выборочной дисперсии не равно оцениваемой D_Г, а равно .

Легко «исправить» выборочную дисперсию так, чтобы ее математическое ожидание было равно генеральной дисперсии. Достаточно для этого умножить на дробь n/(n–1). Сделав это, мы получим исправленную дисперсию, которую обычно обозначают .

Несмещенной оценкой генеральной дисперсии служит исправленная выборочная дисперсия:

.

Более удобна форма:

.

В условных вариантах она имеет вид:

,

причем если u_i = x_i – c, то ; если , то .

Из генеральной совокупности извлечена выборка объемом n = 60

Найти несмещенную оценку генеральной средней.

Решение. Несмещенной оценкой генеральной средней является выборочная средняя: ,

где ─ варианта выборки, ─ частота варианты ; объем выборки.

.

Ответ: .

Источник