что понимаем под понятием перестановки

Что понимаем под понятием перестановки

Таким образом, полученные комбинации удовлетворяют различным условиям.

В зависимости от правил составления можно выделить три типа комбинаций: перестановки, размещения, сочетания.

Предварительно познакомимся с понятием факториала.

Произведение всех натуральных чисел от 1 до n включительно называют

Комбинация из n элементов, которые отличаются друг от друга только порядком элементов, называются перестановками.

Число перестановок можно вычислить по формуле

Запишем эту формулу в факториальной форме:

Кроме того, при решении задач используются следующие формулы, выражающие основные свойства сочетаний:

Источник

КОМБИНАТОРИКА

Комбинаторика – раздел математики, который изучает задачи выбора и расположения элементов из некоторого основного множества в соответствии с заданными правилами. Формулы и принципы комбинаторики используются в теории вероятностей для подсчета вероятности случайных событий и, соответственно, получения законов распределения случайных величин. Это, в свою очередь, позволяет исследовать закономерности массовых случайных явлений, что является весьма важным для правильного понимания статистических закономерностей, проявляющихся в природе и технике.

Правила сложения и умножения в комбинаторике

Правило суммы. Если два действия А и В взаимно исключают друг друга, причем действие А можно выполнить m способами, а В – n способами, то выполнить одно любое из этих действий (либо А, либо В) можно n + m способами.

Пример 1.

В классе учится 16 мальчиков и 10 девочек. Сколькими способами можно назначить одного дежурного?

Дежурным можно назначить либо мальчика, либо девочку, т.е. дежурным может быть любой из 16 мальчиков, либо любая из 10 девочек.

По правилу суммы получаем, что одного дежурного можно назначить 16+10=26 способами.

Правило произведения. Пусть требуется выполнить последовательно k действий. Если первое действие можно выполнить n₁ способами, второе действие n₂ способами, третье – n₃ способами и так до k-го действия, которое можно выполнить n_k способами, то все k действий вместе могут быть выполнены:

Пример 2.

В классе учится 16 мальчиков и 10 девочек. Сколькими способами можно назначить двух дежурных?

Первым дежурным можно назначить либо мальчика, либо девочку. Т.к. в классе учится 16 мальчиков и 10 девочек, то назначить первого дежурного можно 16+10=26 способами.

После того, как мы выбрали первого дежурного, второго мы можем выбрать из оставшихся 25 человек, т.е. 25-ю способами.

По теореме умножения двое дежурных могут быть выбраны 26*25=650 способами.

Сочетания без повторений. Сочетания с повторениями

Классической задачей комбинаторики является задача о числе сочетаний без повторений, содержание которой можно выразить вопросом: сколькими способами можно выбрать m из n различных предметов ?

Пример 3.

Необходимо выбрать в подарок 4 из 10 имеющихся различных книг. Сколькими способами можно это сделать?

Нам из 10 книг нужно выбрать 4, причем порядок выбора не имеет значения. Таким образом, нужно найти число сочетаний из 10 элементов по 4:

.

Рассмотрим задачу о числе сочетаний с повторениями: имеется по r одинаковых предметов каждого из n различных типов; сколькими способами можно выбрать m () из этих (n*r) предметов?

.

Пример 4.

В кондитерском магазине продавались 4 сорта пирожных: наполеоны, эклеры, песочные и слоеные. Сколькими способами можно купить 7 пирожных?

Т.к. среди 7 пирожных могут быть пирожные одного сорта, то число способов, которыми можно купить 7 пирожных, определяется числом сочетаний с повторениями из 7 по 4.

.

Размещения без повторений. Размещения с повторениями

Классической задачей комбинаторики является задача о числе размещений без повторений, содержание которой можно выразить вопросом: сколькими способами можно выбрать и разместить по m различным местам m из n различных предметов?

Пример 5.

В некоторой газете 12 страниц. Необходимо на страницах этой газеты поместить четыре фотографии. Сколькими способами можно это сделать, если ни одна страница газеты не должна содержать более одной фотографии?

В данной задаче мы не просто выбираем фотографии, а размещаем их на определенных страницах газеты, причем каждая страница газеты должна содержать не более одной фотографии. Таким образом, задача сводится к классической задаче об определении числа размещений без повторений из 12 элементов по 4 элемента:

Таким образом, 4 фотографии на 12 страницах можно расположить 11880 способами.

Также классической задачей комбинаторики является задача о числе размещений с повторениями, содержание которой можно выразить вопросом: сколькими способами можно выбрать и разместить по m различным местам m из n предметов, среди которых есть одинаковые?

Пример 6.

У мальчика остались от набора для настольной игры штампы с цифрами 1, 3 и 7. Он решил с помощью этих штампов нанести на все книги пятизначные номера– составить каталог. Сколько различных пятизначных номеров может составить мальчик?

Можно считать, что опыт состоит в 5-кратном выборе с возращением одной из 3 цифр (1, 3, 7). Таким образом, число пятизначных номеров определяется числом размещений с повторениями из 3 элементов по 5:

.

Перестановки без повторений. Перестановки с повторениями

Классической задачей комбинаторики является задача о числе перестановок без повторения, содержание которой можно выразить вопросом: сколькими способами можно разместить n различных предметов на n различных местах?

Пример 7.

Сколько можно составить четырехбуквенных «слов» из букв слова«брак»?

Генеральной совокупностью являются 4 буквы слова «брак» (б, р, а, к). Число «слов» определяется перестановками этих 4 букв, т. е.

Для случая, когда среди выбираемых n элементов есть одинаковые (выборка с возвращением), задачу о числе перестановок с повторениями можно выразить вопросом: сколькими способами можно переставить n предметов, расположенных на n различных местах, если среди n предметов имеются k различных типов (k

Пример 8.

Сколько разных буквосочетаний можно сделать из букв слова «Миссисипи»?

Здесь 1 буква «м», 4 буквы «и», 3 буквы «c» и 1 буква «п», всего 9 букв. Следовательно, число перестановок с повторениями равно

ОПОРНЫЙ КОНСПЕКТ ПО РАЗДЕЛУ «КОМБИНАТОРИКА»

Источник

Мастер-класс по теме «Элементы комбинаторики: перестановки, сочетания и размещения»

Разделы: Математика

Элементы комбинаторики: перестановки, сочетания, размещения.

“Число, положение и комбинация – три
взаимно пересекающиеся, но различные
сферы мысли, к которым можно
отнести все математические идеи”.
Джозеф Сильвестр (1844 г.)

Оборудование: компьютеры, проектор, экран, презентация, электронные и на бумажных носителях тесты, задачи “Судоку”, кубики Рубика, папки для ВСР (внеаудиторная самостоятельная работа), рабочие тетради, чистые ватманы, калькуляторы, цветная бумага, клей, ножницы, фломастеры.

I. Организационный момент

Сообщение целей и задач занятия: В связи с тем, что по дисциплине “Математика” на 2 курсе специальности “Технология деревообработки” на тему “Основные понятия комбинаторика: перестановки, размещения, сочетания” отводится 2 часа, а рассмотреть нужно много материала, решать задачи, создать проект, вам было выдано задание на внеаудиторную самостоятельную работу следующее: в литературе по истории математики, в энциклопедиях, в учебниках и в интернете найти материал о разделе математики, имеющем звучное название “комбинаторика”. Слайды № 1–2. Презентация

В календарно-тематическом плане по дисциплине “Математика” на 2 курсе специальности “Технология деревообработки” на тему “Основные понятия комбинаторика: перестановки, размещения, сочетания” отводится 2 часа. Изучить теоретический материал, решить задачи разных видов за такой временной промежуток невозможно. Для достижения глубокого изучения материала было выдано задание на внеаудиторную самостоятельную работу: в литературе по истории математики, в энциклопедиях, в учебниках и в интернете найти материал о разделе математики, имеющем звучное название “комбинаторика”. Слайды № 1–2.

Запись даты, темы урока.

II. Работа над темой занятия

Из глубокой древности до современного человечества дошли сведения о том, что уже тогда люди занимались выбором объектов и расположения их в том или ином порядке и увлекались составлением различных комбинаций. Так, например, в Древнем Китае увлекались составлением квадратов, в которых заданные числа располагали так, что их сумма по всем горизонталям, вертикалям и главным диагоналям была одной и той же (современная игра – задача “Судоку”). Такие задачи вы могли встречать в журналах и газетах. В частности, наша Мариинская газета “Вперед” довольно часто предлагает читателям такие задачи. В Древней Греции подобные задачи возникали в связи c такими играми, как шашки, шахматы, домино, карты и т.д.

Комбинаторика – самостоятельная ветвь математической науки. Cлайд № 3

Как трактует это слово Большой Энциклопедический Словарь?

Комбинаторика – это раздел математики, в котором изучаются простейшие “соединения”: перестановки, размещения, сочетания. Этот раздел иначе называют “комбинаторный анализ”.

Сегодня мы будем рассматривать перестановки, размещения, сочетания, как соединения, как комбинаторные конфигурации.

Разделы комбинаторики: перечислительная, структурная, вероятностная, топологическая – слайд № 5.

Давайте вспомним известное вам из детства сказание о том, как богатырь или другой добрый молодец, доехав до развилки трех дорог, читает на камне: “Вперед поедешь – голову сложишь, направо поедешь – коня потеряешь, налево поедешь – меча лишишься”. А дальше уже говорится, как он выходит из того положения, в которое попал в результате выбора. Но выбирать разные пути или варианты приходится и современному человеку. Эти пути и варианты складываются в самые разнообразные комбинации. И целый раздел математики, именуемый КОМБИНАТОРИКОЙ, занят поисками ответов на вопросы: сколько всего есть комбинаций в том или ином случае, как из всех этих комбинаций выбрать наилучшую – слайд № 6.

Итак, комбинаторика – раздел математики, в котором изучается, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов.

Задачей комбинаторики можно считать задачу размещения объектов по специальным правилам и нахождение числа способов таких размещений.

Перестановки-соединения, которые можно составить из n предметов, меняя всеми возможными способами их порядок; число их

Количество всех перестановок из n элементов обозначают

Число n при этом называется порядком перестановки – слайд № 7–10.

Необходимо знать, что 0!=1

Термин “перестановки” употребил впервые Якоб Бернулли в книге “Искусство предположений”.

Примеры решения задач:

Задача №1. Сколькими способами 7 книг разных авторов можно расставить на полке в один ряд?

Перестановками называют комбинации, состоящие из одних и тех же п различных элементов и отличающиеся только порядком их расположения. Число всех возможных перестановок обозначается Рп и оно равно п!, т.е. Рп = п!, где п! = 1 * 2 * 3 * … п.

Решение: Р7 = 7!, где 7! = 1 * 2 * 3 * 4 * 5 * 6 * 7 =5040, значит существует 5040 способов осуществить расстановку книг.

Ответ: 5040 способов.

Задача № 2 (о квартете)

В знаменитой басне Крылова “Квартет” “Проказница мартышка, Осел, Козел да косолапый Мишка” исследовали влияние взаимного расположения музыкантов на качество исполнения.

Зададим вопрос: Сколько существует способов, чтобы рассадить четырех музыкантов?

Размещения – соединения, содержащие по m предметов из числа n данных, различающихся либо порядком предметов, либо самими предметами; число их.

В комбинаторике размещением называется расположение “предметов” на некоторых “местах” при условии, что каждое место занято в точности одним предметом и все предметы различны.

В отличие от сочетаний размещения учитывают порядок следования предметов. Так, например, наборы и являются различными, хотя состоят из одних и тех же элементов <1,2,3>(то есть, совпадают как сочетания).

Термин “Размещение” употребил впервые Якоб Бернулли в книге “Искусство предположений”.

Примеры решения задач:

Задача № 1. Сколько можно составить телефонных номеров из 6 цифр каждый, так чтобы все цифры были различны? Это пример задачи на размещение без повторений.

Размещаются здесь десять цифр по 6. Значит, ответ на выше поставленную задачу будет:

Задача № 2. В группе ТД – 21 обучается 24 студентов. Сколькими способами можно составить график дежурства по техникуму, если группа дежурных состоит из трех студентов?

Ответ: 12144 способа

Сочетания-соединения, содержащие по m предметов из n, различающиеся друг от друга, по крайней мере, одним предметом; число их .

Таким образом, количество вариантов при сочетании будет меньше количества размещений. Cлайды № 14–16.

В комбинаторике сочетанием из n по m называется набор m элементов, выбранных из данных n элементов. Наборы, отличающиеся только порядком следования элементов (но не составом), считаются одинаковыми, этим сочетания отличаются от размещений.

Термин “сочетание” впервые встречается у Блеза Паскаля в 1665 году.

Примеры решения задач:

Задача №1. Сколько трехкнопочных комбинаций существует на кодовом замке (все три кнопки нажимаются одновременно), если на нем всего 10 цифр?

Решение: Так как кнопки нажимаются одновременно, то выбор этих кнопок – сочетание. Отсюда возможно

Ответ: 120 вариантов.

Задача № 2. Сколько экзаменационных комиссий, состоящих из 3 членов, можно образовать из 10 преподавателей?

Решение: По формуле находим:

комиссий

Ответ: 120 комиссий.

Библиографическая справка – слайд № 17.

Общее у всех этих задач то, что их решением занимается отдельная область математики, называемая комбинаторикой. “Особая примета” комбинаторных задач – вопрос, который всегда можно сформулировать так, чтобы он начинался словами: “Сколькими способами…?”. Cлайд № 18.

3. Решение задач: тексты задач с решениями в приложении 1 – начало на слайде № 19.

4. Исторические сведения о комбинаторике на слайдах № 20–21 (частично даны сведения при изучении темы, остальные данные для проекта студенты возьмут из материалов для ВСР).

5. Связи комбинаторики на слайдах № 22–31 (частично даны сведения при изучении темы, остальные данные для проекта студенты возьмут из материалов для ВСР).

6. Выдвижение гипотезы. Гипотеза – это научное предположение, выдвигаемое для объяснения каких-нибудь явлений, вообще – предположение, требующее подтверждения.

8. Защита проектов: при защите проекта сделать вывод: подтверждает ли проект выдвинутую гипотезу или опровергает.

9. Тестирование: Часть студентов тестируется на компьютерах, остальные – на бумажных носителях по теме занятия. По мере выполнения тестов студенты решают задачу “Судока” или собирают кубик Рубика.

10. При выходе из кабинета каждый студент выбирает прямоугольник по цвету, соответствующему надписями “всё понятно и усвоено”, “трудно и не всё понятно”, “не понятно и не усвоено”, и опускает в соответствующий конверт.

1. Фадеев Д.К., Никулин М.С., Соколовский. Элементы высшей математики для школьников. Москва. “Наука”, 1987 год.

2. Грэхем Р., Кнут Д.А., Паташник О. Конкретная математика.. Москва “Мир”, 1998 г.

3. Богомолов Н.В. Практические занятия по математике: Учеб. Пособие для техникумов, Москва. “Высшая Школа, 1983.

4. Перельман Я.И. “Занимательная алгебра. Занимательная геометрия, Москва, АСТ “Астрель”, 2002 год.

5. Савин А.П. “Энциклопедический словарь юного математика”, Москва “Педагогика”, 1985.

6. Сканави М.И. “Сборник задач по математике для поступающих в вузы”, Москва, “Высшая школа”, 1998 г.

8. Элементы теории вероятностей. Математика. Приложение к газете «Первое сентября», № 41, 42.

10. Лютикас В.С. Факультативный курс по математике: Теория вероятностей, Москва, “ Просвещение”, 1990.

12. Андреева Е. В. “Комбинаторные задачи”, Москва, “Чистые пруды”, 2005 г.

Источник

Основные понятия

Перестановки

Обычно начинают объяснять с размещений, но я сознательно хочу начать с перестановок, так как на их примере проще понять логику вычисления.

Итак, вернемся к задаче из примера: Сколькими способами можно создать числа, переставляя цифры в числе 12345?

У нас есть пять цифр (пусть это будет пять кубиков с цифрами): 1,2,3,4,5.

У нас есть пять, пока еще свободных, позиций под их размещение (пусть это будут пустые коробочки): ▢▢▢▢▢.

Начинаем постепенно заполнять эти позиции: на первую позицию (в первую коробочку) мы можем поместить одну из пяти цифр (один из пяти кубиков). То есть у нас есть пять вариантов заполнения первой позиции.

Предположим, мы взяли кубик с номером 4.

Теперь у нас осталось четыре цифры (кубика): 1,2,3,5.

Позиций (коробочек) у нас осталось пять, но первая уже заполнена, то есть свободных позиций четыре: 4▢▢▢▢.

На размещение во второй коробочке у нас осталось 4 «претендента». Мы взяли кубик с номером 4. Но если бы мы взяли любой из других кубиков, у нас все равно было бы 4 варианта заполнения второй коробочки (просто мы выбирали бы из другого набора ставшихся кубиков), то есть на каждый вариант заполнения первой коробочки у нас приходится по четыре варианта заполнения второй.

Предположим, мы взяли кубик с номером 1.

У нас осталось три цифры (кубика): 2,3,5.

Позиций (коробочек) у нас осталось пять, но первые две уже заполнены: 41▢▢▢.

Почему последние два числа совпадают? Все просто: на последнем этапе у нас остается всего один кубик, но и одна пустая коробочка. То есть у нас уже нет вариантов размещения. Поэтому последний шаг уже не оказывает влияния на число перестановок.

Нетрудно догадаться, что сколько бы элементов (цифр, чисел, воздушных шариков и так далее) нам ни дали, мы можем узнать число из перестановок умножая последовательно число элементов на все целые числа меньше него.

В математике для подобной операции существует функция, которая называется факториал и обознается восклицательным знаком, стоящим за числом, факториал которого нужно вычислить.

Обозначается число перестановок из n так:

В итоге мы получаем следующую формулу для вычисления количества перестановок для n элементов:

Размещения

Размещение очень похоже на перестановку, с одной лишь разницей: у нас обычно «не хватает» позиций (коробочек) для размещения всех элементов (кубиков).

Обозначается размещение n из k так:

При k = n (то есть когда число «коробочек» равно числу «кубиков») количество размещений равно количеству перестановок порядка n.

Возьмем задачу из примера: Сколько трехзначных чисел можно создать из цифр от 1 до 5?

Если мы по аналогии с перестановками попробуем по шагам считать, то увидим, что мы остановились после заполения третьей (последней) «коробочки»:

Мы можем записать так:

а в общем виде так:

Размещение с повторением

Существует вариант, когда мы можем повторно использовать один и тот же элемент, независимо от того, использовали мы его до этого, или нет. В случае с кубиками и коробочками это будет выглядеть так: у нас есть не по одному кубику с каждым номером, а неограниченное число кубиков с каждым из чисел. Это называется размещение n из k с повторением и обозначается:

Начнем заполнять «коробочки».

У нас есть пять кубиков с цифрами: 1,2,3,4,5.

У нас есть пять, пока еще свободных, позиций под их размещение (пусть это будут пустые коробочки): ▢▢▢▢▢.

Положим, в первую мы кладем номер 4.

Значит у нас осталось четыре свободных «коробочки»: 4▢▢▢▢.

Начинаем заполнять вторую коробочку. Их у нас четыре, как я уже сказал. Но кубиков у нас, в отличии от размещения без повторения осталось всё равно пять. Значит у нас на каждый вариант заполения первой коробочки приходится пять вариантов заполения второй.

Соотвественно две первые коробочки мы можем заполнить 5⋅ 5 = 25 способами (а не 5⋅ 4 = 20, как в случае без повторения).

Повторяя рассуждения мы вычислим, что три коробочки мы можем заполнить 5⋅ 5⋅ 5 = 125 способами.

В общем случае число размещений равно числу элементов (кубиков) в степени числа возможных позиций для размещения (коробочек).

Сочетания

Сочетания похожи на размещения, однако для сочетаний совершенно не важно, в каком порядке расположены коробочки. Обозначаются сочетания так:

Как нам вывести формулу для сочетаний? Для начала возьмем число размещений и разделим на число всех вариантов «перемешивания» каждого набора (ведь при «перемешивании» получается тот же набор, просто расположенный в другом порядке). Но чему равно число этих «перемешиваний», спросите вы? А если не спросите, то значит я не зря писал эту статью, потому что внимательный читатель сам заметит, что в данном случае речь идет о перестановках. Обратите внимание, что тут мы переставляем не кубики, а коробочки, которых k штук, поэтому речь идет не о P_n, а о P_k. В итоге мы получаем формулу:

А теперь вернемся к задаче из примера: В вазе есть тюльпаны пяти цветов: белые, желтые, оранжевые, красные и розовые. Сколькими способами можно создать букет из трех тюльпанов, если в букете должно быть по одному цветку каждого цвета?

Сочетания с повторениями

Я думаю, вы уже догадались, что такое сочетания с повторениями. Это сочетания, при которых можно использовать элементы повторно. Обозначается сочетание с повторением так:

А теперь задание для особо внимательных: могли ли мы совершить такой же «фокус» в случае с размещением с перестановками? Если могли, то почему не сделали? А если не могли, то почему? Жду ответов в комментариях.

Ну и пара примеров задач.

Есть гвоздики двух цветов. Нужно собрать букеты из трех цветков так, чтобы у каждого был уникальный набор. Скольким букетов можно собрать?

Есть гвоздики четырех цветов. Нужно собрать букеты из трех цветков так, чтобы у каждого был уникальный набор. Скольким букетов можно собрать?

Проведем аналогию с кубиками и коробочками. Можно преобразовать эту задачу к виду «Нужно разместить шесть кубиков в трех коробочках». И решение:

Источник