формулы сокращенного умножения 7 класс примеры для тренировки
Тренажер «Формулы сокращенного умножения»
Разделы: Математика
Данный тренажер можно применять на уроках алгебры в 7 классе для формирования у учеников прочных навыков применения формул сокращенного умножения, представления в виде многочлена и различных способов разложения на множители.
Задания можно использовать для устного счета, для самостоятельной работы, эстафеты, работы в парах.
| А | Б | В | Г |
| a 2 – 9 4 – y 2  9x 2 – 4 9a 2 – 16m 2 | 4 – y 2 b 2 – c 2  4a 2 – 25 25x 2 – y 2 | 25 – x 2 x 2 – a 2  16 – 49y 2 4x 2 – 1 | p 2 – 49 x 2 – 1 m 2 – 0,25 25x 2 – y 2 1 – 36a 2 |
| a 2 – 0,01 b 2 + 1 9 – b 4 48m 2 – n 2 36m 6 – 49k 4 n 2 | 0,25a 2 – 1 x 2 y 2 – 4 y 4 –x 2 25x 2 – 49y 2 100 + 25n 2 | 0,09x 2 – y 2 y 6 – 9 25 + x 2 100x 4 – 9y 10 0,01m 2 – 25n 8 | 0,16 – 4b 2 x 10 – 25 0,64 – 49k 8 9a 2 b 2 – 64x 4 36a 4 – b 6 |
x 6 – 1,44  y 12 – 16 4x 2 y 4 – 9 | 1,21p 2 – a 6  | 0,04a 6 – 0,25b 4  0,09x 6 – 0,49y 2 | x 10 – y 8 0,04x 4 – 0,25y 2  1,69y 14 – 1,21 121m 8 n 8 – 9 |
№ 3. Выполнить умножение (произведение разности и суммы двух выражений).
№ 4. Представьте в виде многочлена.
№ 5. Разложить на множители (различные способы).
7.3.1. Примеры для закрепления формул сокращенного умножения
1) Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения плюс удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения.
(a+b) 2 = a 2 +2ab+b 2
a) ( x + 2y ) 2 = x 2 + 2 ·x · 2y + ( 2y ) 2 = x 2 + 4xy + 4y 2
б) ( 2k + 3n ) 2 = ( 2k ) 2 + 2· 2k ·3n + ( 3n ) 2 = 4k 2 + 12kn + 9n 2
2) Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения минус удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения.
3) Разность квадратов двух выражений равна произведению разности самих выражений на их сумму.
a 2 –b 2 = (a–b)(a+b)
a) 9x 2 – 16y 2 = ( 3x ) 2 – (4y ) 2 = ( 3x – 4y )( 3x + 4y )
б) ( 6k – 5n)( 6k + 5n) = ( 6k ) 2 – (5n) 2 = 36k 2 – 25n 2
4) Куб суммы двух выражений равен кубу первого выражения плюс утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго плюс куб второго выражения.
(a+b) 3 = a 3 +3a 2 b+3ab 2 +b 3
a) ( m + 2n ) 3 = m 3 + 3 ·m 2 · 2n + 3 ·m ·( 2n ) 2 + (2n ) 3 = m 3 + 6m 2 n + 12mn 2 + 8n 3
б) ( 3x + 2y ) 3 = ( 3x ) 3 + 3· (3x) 2 ·2y + 3· 3x · (2y) 2 + ( 2y ) 3 = 27x 3 + 54x 2 y + 36xy 2 + 8y 3
5) Куб разности двух выражений равен кубу первого выражения минус утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго минус куб второго выражения.
6) Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы самих выражений на неполный квадрат их разности.
a 3 +b 3 = (a+b)(a 2 –ab+b 2 )
a) 125 + 8x 3 = 5 3 + ( 2x ) 3 = ( 5 + 2x )( 5 2 — 5 · 2x + ( 2x ) 2 ) = (5 + 2x)(25 – 10x + 4x 2 )
б) (1 + 3m)(1 – 3m + 9m 2 ) = 1 3 + (3m) 3 = 1 + 27m 3
7) Разность кубов двух выражений равна произведению разности самих выражений на неполный квадрат их суммы.
а) 64с 3 – 8 = ( 4с ) 3 – 2 3 = ( 4с – 2 )(( 4с ) 2 + 4с · 2 + 2 2 ) = (4с – 2)(16с 2 + 8с + 4)
б ) (3a – 5b)(9a 2 + 15ab + 25b 2 ) = (3a) 3 – (5b) 3 = 27a 3 – 125b 3
Дорогие друзья! Карта сайта поможет вам выбрать нужную тему.
Тренажер » Формулы сокращенного умножения ( 7 класс)
Ищем педагогов в команду «Инфоурок»
Муниципальное общеобразовательное учреждение
«Средняя общеобразовательная школа №20» города Магнитогорска
Тренажер по теме: «Формулы сокращенного умножения»
Тренажер можно использовать на уроках алгебры в 7 классе для отработки навыков применения формул сокращенного умножения, представления в виде многочлена и различных способов разложения на множители. Данные задания можно применять для устного счета, для индивидуальной работы, работы в парах, группах.
x 2 + 2xy + y 2
16x 2 +8x +1
1 – 2a +a 2
-28a + 4a 2 +49
4x 4 – 12x 2 y 2 +9y 4
4a 4 – 12a 2 +9
25b 2 + 10b+ 1
8ab + b 2 + 16a 2
25a 2 +49 + 70a
a 6 – 6a 3 b 2 + 9b 4
-36m 2 + 60m – 25
16p 2 + 8pk 3 +k 6
49a 2 + 28ab 2 + 4b 4
81x 6 +72x 3 y 2 + 16y 4
16x 10 + 4x 5 + 0,25
Разложить на множители
Разложить на множители
a 2 – 9
4 – y 2
9x 2 – 4
x 6 – 1,44
y 12 – 16
4x 2 y 4 – 9
25 – x 2
x 2 – a 2
4x 2 – 1
0,09x 2 – y 2
y 6 – 9
25 – x 4
0,01m 2 – 25n 8
0,04a 6 – 0,25b 4
0,09x 6 – 0,49y 2
(5a 8 – 6x 3 )(6x 3 +5a 8 )
(x 2 – 2)(x 2 +2)
(a 2 +1)(1 –a 2 )
(2x 2 +3y)(3y-2x 2 )
(10a – 0,2×3)(0,2×3 +10a)
Представьте в виде многочлена
Представьте в виде многочлена
Разложить на множители (различные способы)
Разложить на множители (различные способы)
49a 2 + 28ab 2 + 4b 4
4x 4 – 12x 2 y 2 +9y 4
Вычислить, используя разложение на множители
Вычислить, используя разложение на множители
Сократить дробь, используя разложение на множители
Сократить дробь, используя разложение на множители
Список использованной литературы:
1. М.К. Потапов, А.В. Шевкин «Алгебра. Дидактические материалы. 7 класс». Москва. «Просвещение». 2013.
3. Алгебра. Устные упражнения. 7 класс: учебное пособие для общеобразовательных организаций / С.С. Минаева — М.: Просвещение, 2018.
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Курс повышения квалификации
Дистанционное обучение как современный формат преподавания
Курс повышения квалификации
Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО
Курс профессиональной переподготовки
Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации
Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:
также Вы можете выбрать тип материала:
Общая информация
Международная дистанционная олимпиада Осень 2021
Похожие материалы
Математическая игра «Мозговой штурм» (7-8 классы)
Самостоятельная работа. Проценты. 7 класс
Контрольная работа «Пропорциональность величин» (8 класс)
Интегрированный урок алгебры и информатики » Как построить график функции у=f(x)±m по известному графику функции у=f(x)». 8 класс
Урок «Решение линейных неравенств» 8 класс
«Решение практических задач по математике
Урок по теме «Подготовка к ГИА»
Не нашли то что искали?
Воспользуйтесь поиском по нашей базе из
5267854 материала.
Вам будут интересны эти курсы:
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.
Безлимитный доступ к занятиям с онлайн-репетиторами
Выгоднее, чем оплачивать каждое занятие отдельно
В Приамурье начнут пускать на занятия только привитых студентов
Время чтения: 0 минут
Рособрнадзор открыл горячую линию по вопросам контрольных в школах
Время чтения: 1 минута
Роспотребнадзор продлил действие санитарных правил для школ
Время чтения: 1 минута
В Башкирии школьные каникулы продлили до 14 ноября
Время чтения: 1 минута
Вузам Москвы и Подмосковья рекомендовали с 8 ноября ввести смешанный формат обучения
Время чтения: 1 минута
В школе в Пермском крае произошла стрельба
Время чтения: 1 минута
Подарочные сертификаты
Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.
Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.
Сокращенное умножение: правила, формулы
Формулы сокращенного умножения
Вместо букв a, b могут быть любые числа, переменные или даже целые выражения. Для быстрого решения задач лучше выучить основные 7 формул сокращенного умножения (ФСУ) наизусть. Да, алгебра такая, нужно быть готовым много запоминать.
Ниже удобная табличка, которую можно распечатать и использовать, как закладку для быстрого запоминания формул.
Как читать формулы сокращенного умножения
Учимся проговаривать формулы сокращенного выражения:
Доказательство формул сокращенного умножения
Остальные ФСУ можно доказать аналогичным методом.
Дополнительные формулы сокращенного умножения
К таблице основных ФСУ следует добавить еще несколько важных тождеств, которые пригодятся для решения задач.
Бином Ньютона
Формула для разложения на отдельные слагаемые целой неотрицательной степени суммы двух переменных. Записывается вот так:
Пример вычисления биномиальных коэффициентов, которые стоят в строке под номером n в треугольнике Паскаля:
ФСУ для квадрата и куба суммы и разности — являются частными случаями формулы бинома Ньютона при n = 2 и n = 3.
Формула возведения в квадрат суммы трех, четырех и более слагаемых
Пригодится, если слагаемых в сумме, которую нужно возвести в степень, больше, чем два.
Читается так: квадрат суммы n слагаемых равен сумме квадратов всех этих слагаемых и удвоенных произведений всех возможных пар этих слагаемых.
Формула разности n-ых степеней двух слагаемых
a n − b n = (a − b) * (a n-1 + a n-2 * b + a n-3 * b 2 + … + a * b n-2 + b n-1 ).
Для четных показателей можно записать так:
a 2*m − b 2*m = (a 2 − b 2 ) *(a 2*m−2 + a 2*m−4 * b 2 + a 2*m−6 * b 4 + … + b 2*m−2 ).
Для нечетных показателей:
a 2*m+1 − b 2*·m+1 = (a − b) * (a 2*m + a 2*m−1 * b + a 2*m−2 * b 2 + … + b 2*m ).
Частными случаями являются формулы разности квадратов и кубов при n = 2 и n = 3. Для разности кубов b можно также заменить на −b.
Решение задач
Давайте потренируемся и рассмотрим примеры с дробями.
Задание 1
Как решаем: воспользуемся формулой квадрата суммы: (55 + 10) 2 = 55 2 + 2 * 55 * 10 + 10 2 = 3025 + 1100 + 100 = 4225.
Задание 2
Что сделать: упростить выражение 64 * с 3 – 8.
Как решаем: применим разность кубов: 64 * с 3 – 8 = (4 * с) 3 – 2 3 = (4 * с – 2)((4 * с) 2 + 4 * с * 2 + 2 2 ) = (4 * с – 2)(16 * с 2 + 8 * с + 4).
Задание 3
Как решаем:
Многочленов бояться не стоит, просто совершайте последовательно каждое действие. С формулами решать задачки быстрее и удобнее — сохраняйте шпаргалку, запоминайте и радуйте своих учителей 🙂
Бесплатный марафон: как самому создавать игры, а не только играть в них (◕ᴗ◕)
Записаться на марафон
Бесплатный марафон: как самому создавать игры, а не только играть в них (◕ᴗ◕)
Формулы сокращенного умножения с примерами
Формулами сокращенного умножения (ФСУ) называют несколько наиболее часто встречающихся в практике случаев умножения многочленов.
Квадрат суммы
А если мы опустим промежуточные вычисления и запишем только начальное и конечное выражения, получим окончательную формулу:
Квадрат суммы: \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\)
Большинство учеников учат ее наизусть. А вы теперь знаете, как эту формулу вывести, и если вдруг забудете – всегда можете это сделать.
Хорошо, но как ей пользоваться и зачем эта формула нужна? Квадрат суммы позволяет быстро писать результат возведения суммы двух слагаемых в квадрат. Давайте посмотрим на примере.
Обратите внимание, насколько быстрее и меньшими усилиями получен результат во втором случае. А когда вы эту и другие формулы освоите до автоматизма – будет еще быстрее: вы сможете просто сразу же писать ответ. Поэтому они и называются формулы СОКРАЩЕННОГО умножения. Так что, знать их и научиться применять – точно стоит.
На всякий случай отметим, что в качестве \(a\) и \(b\) могут быть любые выражения – принцип остается тем же. Например:
Раскроем скобки, воспользовавшись формулой квадрата суммы.
…и приведем подобные слагаемые.
Важно! Необходимо научиться пользоваться формулами не только в «прямом», но и в «обратном» направлении.
Пример. Вычислите значение выражения \((368)^2+2·368·132+(132)^2\) без калькулятора.
Мда… возводить в квадрат трехзначные числа, перемножить их же, а потом все это складывать – удовольствие ниже среднего. Давайте искать другой путь: обратите внимание, что данное нам числовое выражение очень похоже на правую часть формулы. Применим ее в обратную сторону: \(a^2+2ab+b^2=(a+b)^2\)
Вот теперь вычислять гораздо приятнее!
Квадрат разности
Выше мы нашли формулу для суммы одночленов. Давайте теперь найдем формулу для разности, то есть, для \((a-b)^2\):
В более краткой записи имеем:
Квадрат разности: \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\)
Применяется она также, как и предыдущая.
Пример. Упростите выражение \((2a-3)^2-4(a^2-a)\) и найдите его значение при \(a=\frac<17><8>\).
Теперь приведем подобные слагаемые.
Вот теперь подставляем и наслаждаемся простотой вычислений.
Разность квадратов
Итак, мы разобрались с ситуациями произведения двух скобок с плюсом в них и двух скобок с минусом. Остался случай произведения одинаковых скобок с разными знаками. Смотрим, что получится:
Разность квадратов \(a^2-b^2=(a+b)(a-b)\)
Да, я знаю, что рука так и тянется сократить иксы и девятку с тройкой – однако так делать ни в коем случае нельзя, ведь и в числителе, и в знаменателе стоит минус!
Попробуем воспользоваться формулой.
Вот теперь все плюсы и минусы попрятались в скобки, и значит без проблем можем сокращать одинаковые скобки.
Воспользуемся формулами степеней: \((a^n )^m=a^
Ну, а теперь пользуемся формулой \(a^2-b^2=(a+b)(a-b)\), где \(a=5x^2\) и \(b=m^5 t^3\).
Это три основные формулы, знать которые нужно обязательно! Есть еще формулы с кубами (см. выше), их тоже желательно помнить либо уметь быстро вывести. Отметим также, что в практике часто встречаются сразу несколько таких формул в одной задаче – это нормально. Просто приучайтесь замечать формулы и аккуратно применяйте их, и все будет хорошо.
На первый взгляд тут тихий ужас и сделать с ним ничего нельзя (вариант «лечь и помереть» всерьез не рассматриваем).
Однако давайте попробуем поменять два последних слагаемых числителя местами и добавим скобки (просто для наглядности).
Теперь немного преобразуем слагаемые в скобке:
\(4xy\) запишем как \(2·x·2y\),
а \(4y^2\) как \((2y)^2\).
Теперь приглядимся – и заметим, что в скобке у нас получилась формула квадрата разности, у которой \(a=x\), \(b=2y\). Сворачиваем по ней к виду скобки в квадрате. И одновременно представляем девятку как \(3\) в квадрате.
Еще раз внимательно смотрим на числитель… думаем… думаем… и замечаем формулу разности квадратов, у которой \(a=(x-2y)\), \(b=3\). Раскладываем по ней к произведению двух скобок.
И вот теперь сокращаем вторую скобку числителя и весь знаменатель.