учение о числе это алгебра или арифметика
Отличия алгебры от арифметики
Алгебра (так же, как и арифметика) занимается нахождением решений различных вопросов, относящихся к числам. Но между этими двумя науками есть существенная разница:
Чтобы выяснить, что такое общее решение численного вопроса, решим задачу:
Два путешественника в одно и то же время выходят навстречу друг другу из двух городов, находящихся на расстоянии 240 километров. Первый проходит в день 25 километров, второй 35 километров. Через сколько дней после своего отправления они встретятся?
Каждый день они приближаются друг к другу на
25 + 35 = 60 километров.
Следовательно, они пройдут весь разделяющий их путь и встретятся через
Предположим теперь, что требуется решить ту же задачу, но не над тремя данными числами 240, 25 и 25 километров, а над какими угодно числами. Это часто делается для того, чтобы решение вопроса имело более общее значение, то есть годилось бы для всех одинакового рода задач, какие бы целые или дробные числа не были даны. В таком случае мы уже не можем обозначать данные величины цифрами, имеющими одно известное числовое значение, а должны пользоваться какими-нибудь другими знаками, под которыми можно было бы подразумевать какие угодно числа. За такие знаки берут буквы латинского алфавита.
Например, назовем число километров между двумя городами буквой a, количество километров, проходимых в день первым путешественником, буквой b, а вторым — c.
Решая задачу в этом общем виде, найдем, что оба путешественника каждый день приближаются друг к другу на
и, следовательно, встретятся через столько дней, сколько раз сумма b + c километров заключается в километрах разделяющего их пути, то есть через 
дней. Полученное выражение представляет общее решение данного вопроса. Подставив вместо букв числа и произведя действия, найдем прежний ответ:
Буквенное или общее решение имеет следующие преимущества перед числовым или частным решением:
Например, два предмета одновременно начинают двигаться из двух мест, находящихся на расстоянии a единиц длины (всё равно каких: метры, километры, футы и т. д.). Первый предмет проходит в каждую единицу времени (сутки, час, секунду) b, а второй c таких единиц длины. Через сколько единиц времени они встретятся? Решение, очевидно, будет прежнее: через единиц времени.
Эта запись называется общей формулой, она дает нам возможность любую новую задачу с подобными условиями решить без повторения рассуждений — одним вычислением.
Итак, алгебра имеет целью находить общие решения вопросов, относящихся к числам, а также обобщать эти вопросы.
Кроме того, алгебра занимается тем, чтобы эти общие решения представлять в наиболее простом и ясном виде, также она учит, как преобразовывать одно буквенное выражение в другое, тождественное с ним, то есть в такое, которое остается равным первому при каких угодно числах.
Чем алгебра отличается от арифметики
Обе науки являются разными сторонами одной медали. Арифметика досконально владеет цифрами, что дает возможность использовать ее в быту для любых расчетов. Азы арифметики закладываются в раннем детстве родителями, когда они учат малышей счету. В школе ребенок овладевает элементарной арифметикой и с помощью четырех основных действий, хорошо известных всем, может решить задачу разной степени сложности. Алгебра – изучает объективные свойства идеализированных объектов, используя числа и буквы. Это вторая математическая ступень по степени сложности.
В чем разница
Арифметика переводится с греческого как «число», что полностью раскрывает ее сущность. Она изучает числа, анализирует действия с ними. Высшая арифметика, которая использует действительные, иррациональные числа, известна как теория чисел.
Алгебра – арабский термин, заимствованный в медицине. Он переводится как «соединение нарушенных частей». Эта наука занимается не просто числами, а самыми разными множествами (не обязательно числовые, но и буквенные). Она решает уравнения, системы уравнений, изучает симметрию, константы, логические операции (булева алгебра).
Иными словами – алгебра – родная сестра арифметики, имеющая дело с более сложными объектами. Правила решения задач у них общие. Найти решение онлайн дифференциальных уравнений сегодня можно на любом сервисе, популярном у школьников и их родителей, студентов и абитуриентов.
1+3 =3+1. Это чисто арифметическое числовое равенство, показывающее определенную регулярность.
а+b = b+а. Это алгебраическое уравнение, которое подходит для целого ряда ситуаций на основе определенных закономерностей. Алгебра – ряд условий, справедливых для любых чисел.
Основные сравнительные характеристики
Основные различия между родственными науками заключаются в следующем:
1. Арифметика – важнейшая часть математики, апеллирующая цифрами, складывая, умножая, вычитая и деля их. Алгебра – иная математическая ветвь, которая решает поставленные задачи, используя не только числа, но и буквы (неизвестные величины), опираясь на общие правила вычислений.
2. Арифметика – первая ступень, математика начальных классов школы. Алгебра – вторая, связанная с образованием в средних классах школы.
3. Арифметика в качестве методики использует действия с известными числами. Алгебра – это действия с абстрактными величинами, имеющими общее значение.
4. Арифметика в качестве инструмент решения пользуется четырьмя основными математическими действиями: сложением, вычитанием, умножением, делением. Алгебра – это действия с числами и буквами (множества, переменные) на основе общих правил математики.
5. Способ решения арифметики – поиск ответа по условиям задачи с итогом в виде небольших чисел. Алгебра – использование стандартных алгоритмов элементарной алгебры (алгебраические формулы).
Арифметика и алгебра – две ступени самой точной науки математики, действующие в одном направлении.
Наш искусственный интеллект решает сложные математические задания за секунды.
Мы решим вам контрольные, домашние задания, олимпиадные задачи с подробными шагами. Останется только переписать в тетрадь!
Арифметика и теория чисел
Хорошая теория – самая практичная вещь на свете.
Начало арифметики относится к незапамятной древности. Изобретение десятичной системы и цифр приписывается индусам, халдейцам, финикянам, египтянам [и майя]. Первыми учеными, писавшими об арифметике, были греки Евклид, Диофант, Эратосфен и др. Арабы, усвоившие труды греческих математиков, развили далее науку арифметики и познакомили с ней европейцев в IX в. Арабские (собственно индийские) цифры стали известны в Европе в 13-м веке (дотого в употреблении были лишь римские). Региомонтанус (XV в.) ввел десятичные дроби [они использовались уже египтянами]. Развитию арифметики способствовали в Европе: Пейрбах, Региомонтанус, Пачиоли, Стифель, Хр. Вольф, Эйлер, Лейбниц, Паскаль, Фермат. (Малый энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона)
В простой арифметике занимаются определенными числами, то есть выраженными цифрами. В общей арифметике, иначе алгебре, вместо цифр употребляются буквенные знаки [переменные], то есть, алгебра есть обобщенная арифметика.
Для удобства в педагогическом отношении более сложные части арифметики: возвышение в степень, извлечение корня, решение задач с уравнениями также переносят в курс алгебры.
В низшую арифметику входят:
К высшей арифметике относится исследование общих свойств чисел, учение о рядах и др.
Выделяют также прикладную (коммерческую) арифметику, занимающуюся вычислением рентных, лотерейных, страховых, эмеритальных, пенсионных, арбитражных и других таблиц.
Разделы страницы о числах, арифметических операциях с ними и их интересных свойствах:
Обозначения чисел
Современные цифры называются «арабскими», хотя являются по происхождению индийскими, причём, и в Индии, и в арабских странах они имеют несколько другую форму.
Школьная арифметика
Когда делается упор на логический анализ понятия числа, то иногда употребляют термин теоретическая арифметика.
Арифметика тесно связана с алгеброй, в которой, в частности, изучаются действия над числами без учёта их индивидуальных свойств. Индивидуальные свойства целых чисел составляют предмет теории чисел.
Впервые (в 1427 г.) подробно описал систему десятичных дробей и правила действий над ними аль-Каши. Запись десятичных дробей, по существу совпадающая с современной, встречается в сочинениях С. Стевина в 1585 г. и с этого времени получает повсеместное распространение. К той же эпохе относится изобретение логарифмов в начале 17 в. Дж. Непером. В начале 18 в. приёмы выполнения и записи вычислений приобретают современную форму.
(Большая советская энциклопедия)
Высшая арифметика
Разложение на множители и простые числа
Сравнения
Квадратичные вычеты
Непрерывные дроби
Суммы квадратов
Квадратичные формы
Теория чисел
Теорию чисел иногда включают в высшую алгебру.
Труды по теории чисел
Порталы и статьи о свойствах чисел
Диофантовы уравнения и их решение
Диофантовыми уравнениями называют уравнения с целыми коэффициентами, для которых требуется найти целочисленные (или натуральные) решения. При этом количество неизвестных в уравнении должно быть не менее двух. Своё название уравнения получили в честь выдающегося античного математика Диофанта Александрийского («отец алгебры», живший предположительно в III веке н. э. [в конце эпохи Древнего мира]), который, как считается, первым систематически изучал неопределённые уравнения и описывал методы их решения. Все сохранившиеся записи собраны в книгу «Арифметика». Диофант первым среди античных учёных предложил развитую математическую символику, которая позволяла формулировать полученные им результаты в достаточно компактном виде.
Проблема решения диофантовых уравнений в целых числах является решённой до конца для уравнений с одним неизвестным, а также для уравнений первой и второй степени с двумя неизвестными.
Свойства и закономерности простых и натуральных чисел
Проблема Гольдбаха
Любое четное число больше 2 можно представить в виде суммы двух простых чисел (1742 г.), например: 10 = 7 + 3 = 5 + 5 [и количество таких комбинаций можно назвать валентностью этого четного числа].
Неожиданное в свойствах простых чисел
Список интересных фактов в операциях над простыми числами:
Статьи энтузиастов по решению проблем простых чисел
Статьи Белотелова В.А. (г. Заволжье):
Статьи по манипуляциям с натуральными числами
Интересные сетевые статьи и ресурсы о свойствах натуральных чисел и их рядов:
Свойства особых иррациональных и трансцендентных чисел (пи, e, фи)
Как известно из геометрии, общею мерою двух отрезков прямой (или двух углов, двух дуг одинакового радиуса, вообще двух значений одной и той же величины), называется такое значение этой величины, которое в каждом из них содержится целое число раз без остатка. Тем не менее, в геометрии утверждается, что могут быть такие 2 отрезка, которые не имеют общей меры, например, сторона квадрата и его диагональ. Числа целые, дробные, десятичные конечные и десятичные периодические носят общее название рациональных чисел; десятичные бесконечные дроби непериодические называются иррациональными числами.
Главные [а есть другие?] математические константы:
Взаимосвязь между базовыми математическими постоянными
В дошедшей до нас античной литературе деление отрезка в крайнем и среднем отношении впервые встречается в «Началах» Евклида (ок. 300 лет до н. э.), где оно применяется для построения правильного пятиугольника. [Интересно. Это поэтому в корне пятёрка?]
Золотое сечение имеет множество замечательных свойств (например, произведение 1,6180339… × 1,6180339. = 2,6180339…) но, кроме того, ему приписывают и многие вымышленные свойства. А вот не менее невероятные, но реальные удивительные свойства числа Фидия:
Ссылки на обзоры и статьи по золотому сечению, числу Фидия и ряду Фибоначчи:
Сетевые ресурсы об иррациональных и трансцендентных числах
Обзоры и сборники статей о свойствах нерациональных и операций с ними чисел:
Учение о числе это алгебра или арифметика
Что такое арифметика – как наука? Что такое число? Откуда они появились и насколько необходимы в жизни человека.
Слово «арифметика» происходит от греческого arithmos, что значит «число». Эта наука изучает действия над числами, учит решать задачи, сводящиеся к сложению, вычитанию, умножению и делению чисел.
Актуальность работы обусловлена тем, что каждый человек должен знать: в каком смысле употребляется слово «АРИФМЕТИКА».
Под словом «АРИФМЕТИКА» можно понимать:
-учебный предмет, занимающийся преимущественно рациональными числами (целыми числами и дробями), действиями над ними и задачами, решаемыми с помощью этих действий;
-«теоритическую арифметику»- часть современной математики, занимающуюся конструированием различных числовых систем (натуральные, целые,рациональные, действительные, комплексные числа и их обобщения);
-«формальную арифметику»- часть математической логики, занимающуюся анализом аксиоматической теории арифметики;
-«высшую арифметику», или теорию чисел, самостоятельно развивающуюся часть математики.
Объектом исследования является наука арифметика.
Предметом исследования выступает значение арифметики и чисел в нашей жизни.
Цель работы – узнать и разобраться в том, что действительно ли наука арифметика является как бы первой ступеней в математике, а также у знать откуда появились числа и почему они так пишутся.
2. Выявить, какова их роль в жизни человека.
3. Что я узнал об арифметике и числах, работая над проектом.
Методы исследования – изучение источников информации (книги, статьи, сайты), проведение анкетирования.
ГЛАВА 1. ЧТО ТАКОЕ ЧИСЛО
1.1 История возникновения чисел
Если уж своих пальцев не хватало, звали приятеля, чтобы уже считать на его руках и ногах. Но такой способ был неудобен.
При ведении хозяйства, при общении с соплеменниками человек использовал пальцы рук, а иногда и ног, чтобы посчитать, например, количество голов скота в стаде, или показать, сколько мужчин пойдет сегодня на охоту.
Потом начали применять для счета подручные материалы (камушки, палочки и тд.) Цифры появились у разных народов в разное время.
Например, индейцы майя вместо цифр использовали только три обозначения: точку, линию и овал и записывали ими любые цифры.
В Древнем Египте около 7 тысяч лет назад использовали такую запись чисел: единица обозначалась палочкой, сотня — пальмовым листом.
А сто тысяч — обозначалось лягушкой (в дельте Нила было очень много лягушек, вот у людей и возникла такая ассоциация: сто тысяч — очень много, как лягушек в Ниле).
Римские цифры появились 2500 лет назад. С небольшими числами эта форма записи вполне удобна, но для записи больших чисел очень сложна. И с ними неудобно проводить вычисления. Сейчас римские цифры тоже применяют, например, в записи века, порядкового номера монарха и т.п.
Индейцы и народы Древней Азии при счете завязывали узелки на шнурках разной длины и цвета.
У некоторых богатеев скапливалось по несколько метров этой веревочной «счетной книги», попробуй, вспомни через год, что означают четыре узелочка на красном шнурочке! Поэтому того, кто завязывал узелки, называли вспоминателем.
Арабы были первыми «чужими», которые заимствовали цифры у индийцев и привезли их в Европу.
Поэтому считается, что современные привычные для нас цифры имеют арабское происхождение. Арабы немного видоизменили индийскую систему записи цифр, приспособив к своему письму. Но с течением времени цифры видоизменялись.
Считается, что арабские математики для удобства решили привязать количество углов в записи цифрык его численному значению. Например, в цифре 1 — один угол, в цифре 2 — два угла, в цифре 3 — три. И так до 9. Нуля еще не существовало, он появился позже. Вместо него просто оставляли пустое место.
Привычные нам формы цифр, более округлые, потому что угловатые цифры писать долго и не очень удобно.
Но, я заметил, что угловатые цифры все же используются и в нашей жизни при написании индекса на конверте, цифр в электронных часах и калькуляторах
Хотя они выглядят уже немного не так. Да и с развитием книгопечатания появилось много различных шрифтов как для букв, так и для цифр. Но в школах России учат писать всех детей одинаково.
Вот такая история цифр и чисел. Сейчас тоже используются разные числа. Некоторые страны, как например, арабские страны и Китай, пользуются своими особенными цифрами. Но, все-таки, наибольшее распространение получили арабские цифры, которые используют во всем мире.
Впервые нуль появился в древневавилонской системе счисления, он использовался для обозначения пропущенных разрядов в числах. В их системе нуль выполнял роль пробела в тексте.
Изобретателем формы нуля можно считать великого греческого астронома Птолемея, так как в его текстах на месте знака пробела стоит греческая буква омикрон, очень напоминающая современный знак нуля. Но Птолемей использует нуль в том же смысле, что и вавилоняне.
На стенной надписи в Индии в IX веке н. э. впервые символ нуля встречается в конце числа. Это первое общепринятое обозначение современного знака нуля. Именно индийские математики изобрели нуль во всех его трех смыслах
ГЛАВА 2. АРИФМЕТИКА.
2.1. Возникновение арифметики в жизни человека.
На первых порах развития человеческого общества, когда человеку не требовались большие числа, люди для счета вполне обходились пальцами одной руки, потом двух, потом пальцами рук и ног. Позже, возникала необходимость пересчитывать такое количество предметов, на которое пальцев не хватало.
Прошли еще многие тысячи лет. Развились обмен и торговля, которые потребовали от людей новых навыков в счете, в действиях с числами.
Так постепенно возникла та арифметика, которую мы изучаем.
Слово «арифметика» происходит от греческого слова arithmos, что значит «число». В более точном переводе слово «арифметика» означает «числовое искусство»: «арифмос» – число, «техно» – искусство.
Эта наука изучает действия над целыми и дробными числами, различные правила обращения с ними, учит решать задачи, сводящиеся к сложению, вычитанию, умножению и делению чисел. Но арифметика нужна не только для подсчета чисел. Арифметика учит правильно и экономно мыслить, рассуждать, приучает к точности, к проверке своих действий. Кроме того, без знания арифметики нельзя изучать никакой другой предмет.
Часто представляют себе арифметику как некоторую первую ступень математики, основываясь на которой можно изучать более сложные ее разделы – алгебру, математический анализ и т. д. Даже целые числа – основной объект арифметики – относят, когда рассматривают их общие свойства и закономерности, к высшей арифметике, или теории чисел.
Арифметика и геометрия – давние спутники человека. Эти науки появились тогда, когда возникла необходимость считать предметы, измерять земельные участки, делить добычу, вести счет времени.
Развитие элементов мыслительной деятельности, которые лежат в основе процесса счета, проходит ряд промежуточных этапов. К ним относятся:
— умение узнавать один и тот же предмет и различать предметы в подлежащей счету их совокупности;
— умение устанавливать исчерпывающее разложение этой совокупности на элементы, отличимые друг от друга и вместе с тем равноправные при счете (пользование именованной «единицей» счета);
— умение устанавливать соответствие между элементами двух множеств вначале непосредственно, а затем сопоставлением их с элементами раз и навсегда упорядоченной совокупности объектов, т.е. совокупности объектов, расположенных в определенной последовательности.
Элементами такой стандартной упорядоченной совокупности становятся слова (числительные), применяемые при счете предметов любой качественной природы и отвечающие образованию отвлеченного понятия числа. При самых различных условиях можно наблюдать сходные особенности постепенного возникновения и усовершенствования перечисленных навыков и отвечающих им арифметических понятий.
Сначала счет оказывается возможным лишь для совокупностей из сравнительно небольшого числа предметов, при этом орудием счета служат зарубки на дереве («бирочный» счет), счетные камешки, четки, пальцы рук и т.п., а также множества, заключающие постоянное число элементов, например: «глаза» – как синоним числительного «два», кисть руки («пясть») – как синоним и фактическая основа числительного «пять» и т.п.
Предполагается, что в далеком прошлом подобным образом считали наши предки.
Лет сто пятьдесят назад американские индейцы при счете пользовались пальцами рук и ног. Вместо один говорили «палец» и обязательно показывали его, вместо два говорили «два пальца» и показывали их: пять у них – «рука», шесть – «рука и один палец» и т.д.
Эскимосы из Северной Канады в 19 веке вместо 20 говорили «человек» (по числу пальцев), вместо 100 – «пять человек».
Некоторые индейские племена в Бразилии считали только до пяти, т.е. до числа пальцев на одной руке. А все, что больше пяти, у них «много».
До недавнего времени в Австралии были племена, у которых для счета употреблялись только два числительных: один и два. Другие числа составлялись из этих. Например, 3 = два-один, 4 = два-два, 5 = два-два-один и т.д.
Словесный порядковый счет (раз, два, три и т.д.), прямую зависимость которого от пальцевого счета в некоторых случаях можно проследить непосредственно, связывается в дальнейшем со счетом групп, содержащих определенное число предметов. Это число образует основание соответствующей системы, равное 10. Встречаются, однако, и группировки по 5, по 20 (французское 80 – «quatre-vingt» = 4*20), по 40, по 12 («дюжина»), по 60 и даже по 11 (Новая Зеландия). В эпоху развитых торговых отношений способы нумерации (как устной, так и письменной) естественно были очень схожи у общавшихся между собой племен и народностей. Именно это обстоятельство сыграло решающую роль в установлении и распространении применяемой в настоящее время системы нумерации, принципа поместного значения цифр и способов выполнения арифметических действий. По-видимому, аналогичными причинами объясняется и общеизвестное сходство имен числительных в различных языках, например: два – duo (латин.), two (англ.), dva (санскр.), δύο (греч.).
Знания и навыки по приемам счета и вычислениям накапливались одновременно во многих странах древнего мира (Древнего Востока): Вавилоне, Китае, Индии, Египте.
Источником первых достоверных сведений о состоянии арифметических знаний являются письменные документы Древнего Египта (папирусы математические). Например, египетский папирус Ринда (названный по имени его владельца Г.Ринда) относится к 20 веку до н.э. Папирусы математические – это сборники задач с указаниями их решений, правил действий над целыми числами и дробями со вспомогательными таблицами без каких бы то ни было пояснений теоретического характера. Решение некоторых задач производится по существу с помощью составления и решения уравнений; встречаются также арифметические и геометрические прогрессии.
О довольно высоком уровне арифметической культуры вавилонян за 2-3 тыс. лет до н.э. позволяют судить клинописные математические тексты.
Накопленные в странах Древнего Востока сокровища математических знаний были развиты и продолжены учеными Древней Греции.
У древних греков практическая сторона арифметики не получила дальнейшего развития; применявшаяся ими система письменной нумерации с помощью букв алфавита была значительно менее приспособлена для выполнения сложных вычислений, нежели вавилонская. С другой стороны, древнегреческие математики положили начало теоретической разработке арифметики в части, касавшейся учения о натуральных числах, теории пропорций, измерения величин и – в неявной форме – также и теории иррациональных
2.2. Основной объект арифметики
Основной объект арифметики – число. Натуральные числа, то есть 1, 2, 3, 4, … и так далее, возникли еще в доисторические времена из потребности счета конкретных предметов.
Важная задача арифметики – научиться преодолевать конкретный смысл названий считаемых предметов, отвлекаться от их формы, размера, цвета и тому подобное. Эта задача в процессе развития человеческого общества была постепенно достигнута параллельно с развитием письменности: понятие натурального числа принимает все более отвлеченную форму, все более закрепляется отвлеченное от всякой конкретности понятие числа, воспроизводимого в форме слов в устной речи и в форме обозначения специальными знаками в письменной.
Важным шагом в развитии понятия натурального числа является осознание бесконечности натурального ряда чисел, т.е. потенциальной возможности его безграничного продолжения. Отчетливое представление о бесконечности натурального ряда отражено в знаменитых памятниках античной математики (3 век до н.э.), в трудах Евклида и Архимеда. В «Началах» Евклида устанавливается даже безграничная продолжаемость ряда простых чисел. В книге Архимеда «Псаммит» устанавливаются принципы для построения названий и обозначений для сколь угодно больших чисел, в частности бóльших, чем «число песчинок в мире».
С развитием понятия натурального числа, как результата счета предметов, в обиход включаются действия над числами: действия сложения, вычитания, умножения и деления. Начинают разрабатываться правила этих действий, изучаться из свойства, создаваться методы для решения задач, т.е. начинается развитие науки о числе – арифметики. В процессе развития арифметики проявляется потребность в изучении свойств чисел как таковых, в уяснении все более сложных закономерностей в их взаимосвязях, обусловленных наличием действий.
Развитие понятия числа – появление нуля и отрицательных чисел, обыкновенных и десятичных дробей, способы записей чисел (цифры, обозначения, системы счисления) – все это имеет богатую и интересную историю.
Рассмотрим, например, более подробно об одном из огромного множества натуральных чисел – единица.
Единица – это первое число натурального ряда, а также одна из цифр в десятичной системе счисления. Считается, что обозначение единицы любого разряда одним и тем же знаком, появилось впервые в Древнем Вавилоне приблизительно за 2 тысячи лет до н. э.
Древние греки, считавшие числами лишь натуральные числа, рассматривали каждое из них как собрание единиц. Самой же единице отводится особое место: она числом не считалось.
Но уже И. Ньютон писал: «… под числом мы понимаем не столько собрание единиц, сколько отвлеченное отношение одной величины к другой величине, условно принятой нами за единицу». Таким образом, к тому времени единица уже заняла своё законное место среди других чисел.
Основное свойство, характеризующее число 1, таково:
а * 1 = а для любого числа а.
Это свойство числа 1 переносится и на некоторые другие математические объекты, для которых определена операция умножения.
2.3 Анкетирование одноклассников
«Что такое арифметика?», «История возникновения чисел», решил выяснить, знают ли мои сверстники о существовании данной науки, а также как и когда была она основана арифметика.
В опросе приняло участие 17 человек.
Вот какие результаты получились ( Приложение 1,2 ).
Глава 3. Великие математики древности.
Много имен ученых, занимавшихся арифметикой в античном мире, сохранила нам история – Анаксагор и Зенон, Евклид, Архимед, Эратосфен и Диофант. Яркой звездой сверкает здесь имя Пифагора (6 в. до н.э.).
На учение Пифагора большое влияние оказала философия и религия Востока. Он много путешествовал по странам Востока: был в Египте и в Вавилоне. Там Пифагор познакомился и с восточной математикой. Математика стала важнейшей частью его учения.
Пифагорейцы верили, что в числовых закономерностях спрятана тайна мира. Мир чисел жил для пифагорейца особой жизнью, числа имели свой особый жизненный смысл. Пифагор впервые разделил числа на четные и нечетные, простые и составные, ввел понятие фигурного числа. В его школе были подробно рассмотрены пифагоровы тройки натуральных чисел, у которых квадрат одного равнялся сумме квадратов двух других.
Пифагору приписывается высказывание: «Все есть число». К числам (а он имел в виду лишь натуральные числа) он хотел свести весь мир, и математику в частности.
Геометрия у Пифагора была подчинена арифметике, это ярко проявилось в теореме, носящей его имя и ставшей в дальнейшем основой применения численных методов в геометрии.
Архимед (ок. 287 – 212 гг. до н. э.)
Об Архимеде – великом математике и механике – известно больше, чем о других ученых древности.
Огромен вклад Архимеда и в развитие математики. Спираль Архимеда, описываемая точкой, двигающейся по вращающемуся кругу, стояла особняком среди многочисленных кривых, известных его современникам. Архимед научился находить касательную к своей спирали, нашел площадь ее витка, а также площадь эллипса, поверхности конуса и шара, объемы шара и сферического сегмента. Особенно он гордился открытым им соотношением объема шара и описанного вокруг него цилиндра, которое равно 2: 3.
Архимед много занимался и проблемой квадратуры круга. Созданный им метод вычисления длины окружности и площади фигуры был существенным шагом к созданию дифференциального и интегрального исчислений, появившихся лишь 2000 лет спустя.
Большую роль в развитии математики сыграло его сочинение «Псаммит» – «О числе песчинок», в котором он показывает, как с помощью существовавшей системы счисления можно выражать сколь угодно большие числа.
В «Началах» Евклида (3 в. до н.э.) имеются сохранившие свое значение и до сих пор доказательство бесконечности числа простых чисел, основные теоремы о делимости, алгоритмы для нахождения общей меры двух отрезков и общего наибольшего делителя двух чисел (алгоритм Евклида), доказательство несуществования рационального числа, квадрат которого равен 2 (иррациональность числа √2), и изложенная в геометрической форме.
И, наконец, арифметика, нашедшая свое место и укоренившаяся в Европе, стала распространяться и на русские земли. Первая русская арифметика вышла в 1703 году – это была книга об арифметике Леонтия Магницкого.
Вывод: при работе над данной темой я узнал много нового из истории возникновения чисел разных времён и народов. Исторические факты и современные исследования истории возникновения чисел доказывают, что арифметика является старейшей отраслью математики.
В процессе проведенного исследования я пришёл к выводу, что зачатки великой науки «Арифметики» были заложены еще в древние времена. Возникновение и развитие арифметики было неизбежным явлением, которое предопределено бытовыми потребностями человека.
Возникла арифметика в глубокой древности из практических потребностей счёта и простейших измерений. Далее наука развивалась в связи с усложнением хозяйственной деятельности и социальных отношений, денежными расчётами, задачами измерений расстояний, времени, площадей и требованиями, которые предъявляли к ней другие науки.
3. Кордемский Б. А. Увлечь школьников математикой: (Материал для клас. и внеклас. занятий). – М.: Просвещение, 1981 – 112 с.
4. Перельман Я.И. Занимательная арифметика. – М.: АО Столетие, 1994. – 164 с.
5. Источники сети Интернет.
6. Математический энциклопедический словарь. / Гл. ред. Ю.В. Прохоров; Ред. кол.: С.И. Адян, Н.С. Бахвалов, В.И. Битюцков, А.П. Ершов, Л.Д. Кудрявцев, А.Л. Онищик, А.П. Юшкевич. – М.: Сов. энциклопедия, 1988. – 847 с.
7. Савин А. П. Энциклопедический словарь юного математика. – М.: Педагогика, 1985. – 352с.
«Что такое арифметика?»
Знаешь ли ты о существовании арифметики?