умножение матриц примеры для тренировки с ответами
Упражнения. Умножение матриц.
Матрицу А можно умножить на матрицу В если количество столбцов матрицы А равно количеству строк матрицы В.
Умножение матриц (произведение матриц) A и B размерами m×n и n×k есть операция нахождения матрицы C размера m×k, все элементы которой равны
$c_
Упражнения. Умножение двух матриц (произведение матриц).
Дано две матрицы A и B:
Выберите рамер матрицы С:
Количество строк:
Количество столбцов:
Запишите ответ и нажмите кнопку «проверить».
| C = |  | . | |
Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!
Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.
Умножение матриц: примеры, алгоритм действий, свойства произведения
Произведение двух матриц
Произведение матриц (С= АВ) — операция только для согласованных матриц А и В, у которых число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В:
C ⏟ m × n = A ⏟ m × p × B ⏟ p × n
Вычислим произведения АВ=ВА:
Решение, используя правило умножения матриц:
А ⏟ 2 × 3 × В ⏟ 3 × 2 = 1 2 1 0 1 2 × 1 0 0 1 1 1 = 1 × 1 + 2 × 0 + 1 × 1 1 × 0 + 2 × 1 + 1 × 1 0 × 1 + 1 × 0 + 2 × 1 0 × 0 + 1 × 1 + 2 × 1 = = 2 3 2 3 ⏟ 2 × 2
В ⏟ 3 × 2 × А ⏟ 2 × 3 = 1 0 0 1 1 1 × 1 2 1 0 1 2 = 1 × 1 + 0 × 0 1 × 2 + 0 × 1 1 × 1 + 0 × 2 0 × 1 + 1 × 0 0 × 2 + 1 × 1 0 × 1 + 1 × 2 1 × 1 + 1 × 0 1 × 2 + 1 × 1 1 × 1 + 1 × 2 = 1 2 1 0 1 2 1 3 3 ⏟ 3 × 3
Свойства умножения матриц
Свойства умножения матриц:
Проверяем свойство №1: ( А В ) С = А ( В С ) :
Проверяем свойство №2: А ( В + С ) = А В + А С :
Произведение трех матриц
Произведение трех матриц А В С вычисляют 2-мя способами:
Перемножить матрицы 2-мя способами:
Алгоритм действий:
Используем формулу А В С = ( А В ) С :
Умножение матрицы на число
Произведение матрицы А на число k — это матрица В = А k того же размера, которая получена из исходной умножением на заданное число всех ее элементов:
Свойства умножения матрицы на число:
Найдем произведение матрицы А = 4 2 9 0 на 5.
5 А = 5 4 2 9 0 5 × 4 5 × 2 5 × 9 5 × 0 = 20 10 45 0
Умножение матрицы на вектор
Чтобы найти произведение матрицы и вектора, необходимо умножать по правилу «строка на столбец»:
А В = а 11 а 12 ⋯ а 1 n а 21 а 22 ⋯ а 2 n ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ а m 1 а m 2 ⋯ а m n b 1 b 2 ⋯ b 1 n = a 11 × b 1 + a 12 × b 2 + ⋯ + a 1 n × b n a 21 × b 1 + a 22 × b 2 + ⋯ + a 2 n × b n ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ a m 1 × b 1 + a m 2 × b 2 + ⋯ + a m n × b n = c 1 c 2 ⋯ c 1 m
А В = а а ⋯ а b b ⋯ b = a 1 × b 1 a 1 × b 2 ⋯ a 1 × b n a 2 × b 1 a 2 × b 2 ⋯ a 2 × b n ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ a n × b 1 a n × b 2 ⋯ a n × b n = c 11 c 12 ⋯ c 1 n c 21 c 22 ⋯ c 2 n ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ c n 1 c n 2 ⋯ c n n
Найдем произведение матрицы А и вектора-столбца В :
Найдем произведение матрицы А и вектора-строку В :
Примеры решения матриц с ответами
Простое объяснение принципов решения матриц и 10 наглядных примеров. В каждом примере поэтапный ход решения и ответ.
Алгоритм решения матриц
Матрица – это математическая таблица с числовыми значениями. Обозначаются матрицы латинскими буквами.
Есть два отличия между матрицами:
С матрицей можно выполнять самые наипростейшие действия: умножение, деление, сложение, вычитание и трансформация.
Сложение и вычитание
Данные действия можно совершать тогда, когда матрицы равны между собой, чтобы в конце получилось выражение аналогичной размерности. Сложение и вычитание выполняются по аналогии друг друга.
Задание
Даны две матрицы, найдите их сумму.
Решение
Элемент первой строки складывается с элементом второй. Абсолютно также совершается вычитание, только вместо плюса, нужно поставить минус.
Задание
Даны две матрицы, найдите их разность.
Решение
Задание
Найдите C=2A +3B, если :
Решение
Нужна помощь в написании работы?
Умножение
В математике умножать таблицу с числами можно абсолютно любую. В таком случае число умножается с показателем. Умножаем первое число на первой строке с числом второго столбца и так далее.
Задание
Даны две матрицы. Умножьте их друг на друга.
Решение
Матрицы можно перемножать друг на друга, только если количество столбцов в первой матрице, равно количеству строк второй. Элемент матрицы будет равняться сумме произведений (Aji), где i – строки в таблице; j – строки чисел второй таблицы.
Возведение матрицы в степень
Данную формулу используют лишь в случаях, если матрица стоит в квадратном выражении. Важно знать, что степень должна быть у таких выражений натуральной!
Если число не будет натуральным, то это усложняет возведение матрицы в степень, так как степень n придётся умножить саму на себя n количество раз. Но если у Вас такой случай, то используется следующая формула.
Задание
Решение
В первую очередь найдём, для этого нужно будет просто умножить её саму на себя.
После по формуле подставляем числовые значения.
Расчёт определителя
В математике линейной есть два понятия – определитель и детерминант. Определитель – это какое-либо число, которое ставится в соответствии с квадратной матрицей. Определитель используется при решении многих задач. Найти его можно с помощью формулы.
А детерминант находиться с помощью перемножения простых матриц, используются числа только с побочной и главной диагоналях.
Есть вероятность, что произведения матрицы будут значительно отличаться друг от друга. Если индекс чётный, то число будет со знаком плюс, если нечётный, то число будет со знаком минус. Обозначается определитель det А, а круглые скобки меняются на квадратные.
Дано
Решение
Пользуемся свойствам степеней – A^<3>=A^<2>*A
Далее используем свойство степеней
Ответ
Задание
Найдите определитель матрицы А.
Решение
Обратная матрица
Перед тем, как речь непосредственно пойдёт о самой обратной связи матрицы, давайте разберём алгоритм трансформирования матрицы. Во время трансформации столбцы и строки меняются местами.
Задание
Найти обратную матрицу А.
Решение
Приписываем к матрице А матрицу третьего ряда.
Переводим всё в единичную матрицу.
Ответ
Обратная матрица
Обратная матрица схожа с алгоритмом нахождения обратных чисел. К примеру, если умножить матричную таблицу на обратную матрицу, то в итоге мы получаем A*A(-1)=E. Но чтобы перейти уже к нахождению обратной матрицы, нам придётся найти её определитель. Мы рассмотрим самый простой способ – алгебраических дополнений.
Задание
В пример возьмём квадратную матрицу, она находиться с помощью следующей формулы:
-транспортированные матрицы;|А| – определитель.
Рассмотрим самый простейший пример, где размер таблицы 2*2.
Найти обратную матрицу
Решение
Для начала находим определитель матрицы.
Подставляем числа, возвращаясь к матрица, которая указана выше.
Всегда начинаем с левого верхнего угла и делаем следующее:
← линиями показано, что нужно и как зачеркнуть.
Как итог, у нас остаётся число 4
Теперь мы переходим к нахождению алгебраических дополнений.
Первым делом нужно поменять знаки у двух чисел в мироне.
← подчёркнуты те числа, у которых мы будем менять знаки.
, вот что у нас получилось.
И наконец-то мы переходим к завершающему этапу, к нахождению транспортированной матрице.
, вспоминаем формулу нахождения, и подставляем числовые значения
В завершении желательно проверить правильно ли мы нашли числовую таблицу. Это делать не обязательно, но рекомендуется, чтобы удостовериться в том, то ответ верный.
Задание
Решение
Начинаем с определения матрицы.
Дело осталось за малым – осталось начти алгебраическое дополнение матрицы А:
Примеры решения задач с матрицами
Матрицы широко применяются в математике для компактной записи СЛАУ или систем дифференциальных уравнений. Тогда количество строк матрицы соответствует количеству уравнений системы, а количество столбцов равно количеству неизвестных. Матричный аппарат позволяет свести решение громоздких СЛАУ к компактным операциям над матрицами.
На практике, они позволяют не делать лишних операций и сократить время выполнения задач. Поэтому, будущим специалистам очень важно понять теорию матриц и научиться решать задачи с ними. Перед изучением примеров решения задач советуем изучить теоретический материал по матрицам, прочитать все определения и свойства. Список тем находится в правом меню.
Примеры по темам:
Матрицы: основные определения и понятия
Решение. Находим элемент, который стоит на пересечении второй строки и третьего столбца:
Умножение матрицы на число
Примеры решения задач с матрицами не по зубам? Тебе ответит эксперт через 10 минут!
Сложение и вычитание матриц
Умножение матриц
Выполним произведения в более компактном виде:
Транспонирование матрицы
Минор и алгебраическое дополнение
Решение. Вычеркиваем в заданном определителе вторую строку и третий столбец:
Вычисление определителя
$+3 \cdot 3 \cdot 1-(-1) \cdot 1 \cdot 1-3 \cdot(-2) \cdot 3-4 \cdot 3 \cdot(-2)=54$
Решение. Выполним следующие преобразования над строками определителя: из второй строки отнимем четыре первых, а из третьей первую строку, умноженную на семь, в результате, согласно свойствам определителя, получим определитель, равный данному.
Определитель равен нулю, так как вторая и третья строки являются пропорциональными.
Далее из третьей строки выносим (-10) за определитель и делаем нули в третьем столбце под главной диагональю, а для этого к последней строке прибавляем третью:
Нахождение обратной матрицы
От первой строки отнимаем вторую (для этого от элемента первой строки отнимаем соответствующий элемент второй строки):
От второй строки отнимаем две первых:
Первую и вторую строки меняем местами:
От второй строки отнимаем две первых:
Вторую строку умножаем на (-1), а к первой строке прибавляем вторую:
Итак, слева получили единичную матрицу, а значит матрица, стоящая в правой части (справа от вертикальной черты), является обратной к исходной.
Решение. Вычисляем определитель матрицы:
$\Delta=\left| \begin
$-1 \cdot(-1) \cdot 2-3 \cdot 1 \cdot 1-2 \cdot 0 \cdot(-1)=1+12+0+2-3+0=12 \neq 0$
Транспонируем эту матрицу (т.е. строки матрицы делаем столбцами с тем же номером):
Нахождение ранга матрицы
Меняем местами первую и вторую строчки:
Далее четвертую и первую строки:
так как содержит два пропорциональных столбца (первый и второй); второй минор
преобразуем следующим образом: к первой строке прибавим третью, а ко второй две третьих:
И так как первая и вторая строки пропорциональны, то минор равен нулю.
Матрицы: примеры с решением и объяснением
Вы будете перенаправлены на Автор24
Матрицы представляют собой таблицы чисел, взаимосвязанных между собой. Над ними возможно проводить ряд разнообразных операций, о которых мы расскажем вам ниже.
Сложение и вычитание
Итак, о сложении и вычитании. Эти действия возможно проводить только с матрицами одинакового размера.
Для того чтобы осуществить эти действия, необходимо провести сложение или вычитание каждого элемента матрицы с элементом другой матрицы, стоящим на той же позиции, что элемент в первой.
Готовые работы на аналогичную тему
Обратите внимание, что сложение и вычитание для матриц возможно осуществлять только если их порядки одинаковые.
Объяснение:
Умножение матрицы на число
Произведение матричных таблиц
Эта задача несколько сложнее предыдущих, но при этом в ней также нет ничего сложного.
Математически это можно записать так:
Если число столбцов первого матричного множителя не совпадает с количеством строчек второго матричного множителя, то умножение выполнить невозможно.
$A \times B = \begin
Нахождение определителя матрицы
Детерминант возможно найти только для квадратных разновидностей матриц.
Вычислить определитель от матрицы порядка двух можно следуя такому правилу:
Определитель матрицы размера 2 равен разности произведений элементов, стоящих на главной диагонали с произведением элементов с побочной диагонали:
Для определителей большего размера можно использовать преобразования Гаусса и разложение по строчке.
Обратные матрицы
Получить обратную матрицу.
Решение:
$ \begin
Теперь обнуляем последний элемент первой строчки. Для этого к верхней строчке плюсуем нижнюю:
Транспонирование матричных таблиц
Решение:
Применим метод Саррюса для детерминанта:
Мы получили вырожденную матрицу.