Уравнение движения машины в дифференциальной форме

iSopromat.ru

Для установления истинного закона движения, уравнение энергетического баланса механизма записывается в дифференциальной форме, которое в данном случае носит название уравнения движения машины.

Дальнейшее решение задачи осуществляется интегрированием уравнения движения машины:

Из-за несоответствия характеристики двигателя и приведенного момента происходит отклонение истинного закона движения главного звена от первоначально заданного, происходят колебания угловой скорости.

Эти колебания оцениваются коэффициентом неравномерности хода. Коэффициент неравномерности хода определяется для цикла установившегося движения, обычно обозначается δ и определяется следующей формулой:

Опыт эксплуатации машин показывает, что на качество работы машины в большей степени влияет величина колебаний скорости главного звена, а не закон, по которому эти колебания происходят.

Поэтому решение задачи обычно сводится к определению коэффициента неравномерности хода δ, после чего он сравнивается с допустимой величиной [ δ ] для данного типа машин. Решение уравнения движения машины (интегрирование) и определение коэффициента неравномерности хода обычно производят графическими методами.

Если коэффициент неравномерности хода окажется больше допустимого для данного типа машин, то необходимо отрегулировать ход машины, т.к. колебания скорости вызывают дополнительные динамические нагрузки на детали машин, а также ухудшают рабочий процесс машины. Простейшим способом регулирования хода машины является постановка маховика.

Маховик – это обычно колесо, имеющее массивный обод. Обладая значительной массой, маховик играет роль аккумулятора кинетической энергии. При избытке энергии у двигателя (когда момент двигателя больше приведенного момента) маховик накапливает эту энергию, при недостатке – отдает ранее накопленную энергию механизму. За счет этого происходит уменьшение колебаний скорости главного звена.

Чем больше масса и скорость маховика, тем меньше коэффициент неравномерности хода. С целью уменьшения массы маховика целесообразно ставить его на наиболее быстро вращающееся звено.

Уважаемые студенты!
На нашем сайте можно получить помощь по техническим и другим предметам:
✔ Решение задач и контрольных
✔ Выполнение учебных работ
✔ Помощь на экзаменах

Источник

Звено приведения движется поступательно

Дата добавления: 2013-12-23 ; просмотров: 1090 ; Нарушение авторских прав

Уравнения движения машины в дифференциальной форме

Дифференциальные уравнения движения машины можно получить путем использования методов приведения сил и масс.

Запишем теорему об изменении кинетической энергии системы материальных тел на бесконечно малом перемещении

,

где А – работа всех внешних сил, реально действующих в машине;

Т – кинетическая энергия всех звеньев машины.

На бесконечно малом перемещении работа сил бесконечно малая величина и изменение кинетической энергии также бесконечно мало. Разделим обе части уравнения на бесконечно малую величину dt:

, ,

где — мгновенная мощность всех сил, действующих на звенья механизма.

Метод приведения масс и сил позволяет нам выразить N и Т машины через приведенную массу и приведенную силу. Тогда теорема об изменении кинетической энергии запишется в следующем виде:

.

Рассмотрим случай поступательного движущегося звена приведения (материальной точки). В этом случае вся система может быть представлена материальной точкой, движущейся со скоростью V_пр и ускорением _пр под действием силы F_пр и имеющей массу m_пр (рисунок 1). Тогда мощность звена приведения:

,

а его кинетическая энергия

.

Тогда уравнение движения машины может быть записано в следующем виде:

.

В правой части уравнения мы имеем производную от произведения двух переменных величин и . Как правило , и . Возьмем производную от произведения двух переменных величин m_пр и V_пр по времени t:

,

здесь — ускорение материальной точки.

Разделим и умножим первый член правой части полученного равенства на бесконечно малую величину dS_пр – перемещение материальной точки приведения.

,

здесь — скорость материальной точки приведения.

Подставим полученное выражение в исходное уравнение

.

Сократим левую и правую части уравнения на Vпр

|5|

Если m_пр=const, т. е. приведенная масса точки приведения не зависит от времени или положения механизма, то и тогда уравнение |5| принимает вид дифференциального

Источник

Уравнение движения машины в дифференциальной форме.

Продифференцируем полученное выше уравнение по обобщенной координате

После подстановки получим

уравнение движения машины в дифференциальной форме.

Из этого уравнения после преобразований

получим формулу для расчета углового ускорения звена приведения.

Для механических систем в которых приведенный момент не зависит от положения звеньев механизма.

Определение параметров машины (приведение сил и масс).

Рассмотрим изображенную на рис. 6.1 механическую систему и ее динамическую модель. Запишем для них уравнение изменения кинетической энергии. Кинетическая энергия:

Суммарная работа внешних сил:

Из уравнения для левых частей получаем формулу для определения приведенного суммарного момента инерции машины

Из уравнения для правых частей получаем формулу для определения приведенного суммарного момента машины

Механические характеристики машин.

Механической характеристикой машины называется зависимость силы или момента на выходном валу или рабочем органе машины от скорости или перемещения точки или звена ее приложения.

Рассмотрим примеры механических характеристик различных машин.

o Статическая характеристика асинхронного двигателя, выражающая зависимость нагрузки от скольжения, определяется формулой Клосса

· Уравнение статической характеристики для двигателя постоянного тока с независимым возбуждением

· В электрических параметрах характеристика записывается в следующем виде

1. Определение сил веса G_i = m_i ×g.

2.Определение кинематических передаточных функций.

По этим формулам строятся цикловые диаграммы передаточных функций для рассматриваемого механизма ( см. рис. 6.10 ).

3. Определение суммарного приведенного момента М пр _å

Рис. 6.12

Лекция 7

Режимы движения машины.

В зависимости от того какую работу совершают внешние силы за цикл движения машины различают три режима движения: разгон, торможение и установившееся движение. Циклом называют период времени или период изменения обобщенной координаты через который все параметры системы принимают первоначальные значения.

Для динамической модели в конечном положении

Таким образом при остановке с мягким ударом необходимо выполнить условие

при безударной установке и фиксации объекта в конечном положении нужно выполнить одновременно два условия

Источник

Уравнение движения машины в дифференциальной форме

Динамическая модель машинного агрегата.

Уравнения движения динамической модели

Уравнение движения динамической модели в интегральной форме.

Запишем для динамической модели теорему о изменении кинетической энергии

где

и уравнение движения динамической модели в интегральной или энергетической форме

Из этого уравнения после преобразований

получим формулу для расчета угловой скорости звена приведения.

Для машин работающих в режиме пуск-останов

формула принимает вид

Уравнение движения динамической модели в дифференциальной форме.

Продифференцируем полученное выше уравнение по обобщенной координате

где

После подстановки получим

уравнение движения динамической модели в дифференциальной форме.

Из этого уравнения после преобразований

получим формулу для расчета углового ускорения звена приведения.

Для механических систем в которых приведенный момент не зависит от положения звеньев механизма.

для левых частей

для правых частей

Из уравнения для левых частей получаем формулу для определения приведенного суммарного момента инерции динамической модели

Из уравнения для правых частей получаем формулу для определения приведенного суммарного момента динамической модели

Механические характеристики машин.

Механической характеристикой машины называется зависимость силы или момента на выходном валу или рабочем органе машины от скорости или перемещения точки или звена ее приложения.

Уравнение статической характеристики для двигателя постоянного тока с независимым возбуждением

В электрических параметрах характеристика записывается в следующем виде

Механические характеристики определяют внешние силы и моменты, действующие на входные и выходные звенья, рассматриваемой механической системы со стороны взаимодействующих с ней внешних систем и окружающей среды. Характеристики определяются экспериментально, по результатам экспериментов получают регрессионные эмпирические модели, которые в дальнейшем используются при проведении динамических расчетов машин и механизмов.

Пример на определение параметров динамической модели (на приведение сил и масс ).

1. Определение сил веса G i = m i × g.

2.Определение кинематических передаточных функций.

Передаточные функции:

По этим формулам строятся цикловые диаграммы передаточных функций для рассматриваемого механизма ( см. рис. 6.10 ).

3. Определение суммарного приведенного момента М пр _å

Источник

Уравнение движения машины.

Для составления уравнения движения машины может быть использована теорема об изменении кинетической энергии:

где dT – изменение кинетической энергии машины,

dA – cумма работ всех внешних сил на бесконечно малом перемещении. Применительно к динамической модели машины это уравнение можно записать:

d ) = M_прdj.

J_пр + = М_пр. (15.9)

Таким образом, движение машины описывается дифференциальным уравнением, которое обычно не имеет общего аналитического решения.

Оно может быть решено лишь в некоторых частных случаях, либо приближенно при определенных упрощающих допущениях. В первую очередь это зависит от режима работы агрегата.

Основные режимы работы машинного агрегата.

Процесс движения машины в общем случае состоит из трёх фаз:

Разбег и выбег относятся к неустановившемуся режиму, который характеризуется непериодическими изменениями скорости главного вала (начального звена динамической модели).

В установившемся режиме работает большинство технологических и энергетических машин.

Анализ установившегося движения машинного агрегата.

Расчёт маховика.

Технологические машины выполняют технологический процесс в установившемся режиме, который обычно не имеет ограничений по продолжительности. Для машин, содержащих рычажные механизмы, этот режим является неравновесным, при котором кинетическая энергия изменяется периодически, т.е. её значения повторяются через время цикла tц (рис. 16.1). При этом угловая скорость ведущего звена также меняется периодически в зависимости от его положения (рис. 16.2). При этом характер изменения графиков кинетической энергии и угловой скорости обычно не соответствуют друг другу. Периодом изменения, обычно, является один оборот (2p радиан или 360 0 ). Такое движение характеризуют средней угловой скоростью w_СР и коэффициентом неравномерности

d = . (16.1)

Величина коэффициента неравномерности в технологических машинах мала (d= 0,03…0,05), так как только при этом условии обеспечивается нормальная работа привода. Малость d позволяет использовать при решении уравнения движения приближенные методы.

В данном случае вместо уравнения (15.8) используется

уравнение движения в интегральной форме

Здесь Т и Т_н –кинетические энергии машинного агрегата в произвольном и начальном положениях. За начальное положение целесообразно брать то, в котором ведомое звено занимает крайнее положение и его скорость равна 0.

А – сумма работ на данном участке всех внешних сил и моментов. Работа сил трения здесь не учитывается.

Для динамической модели (рис.15.2) после приведения сил и масс уравнение (16.2) приобретает вид

Анализ уравнения (16.3) показывает, что причинами колебаний угловой скорости ведущего звена механизма являются:

а) несоответствие величин приведённого момента М_Д движущих сил и приведённого момента М_С сил сопротивления. Это приводит к появлению избыточной работы

б) непостоянство приведённого момента инерции динамической модели при наличии в механизме масс, совершающих возвратно-поступательное, качательное и сложно-плоское движения.

Величина и характер изменения сил сопротивления задаются при проектировании. Следовательно, путём интегрирования можно в каждом положении механизма определить величину работы А_с. Обозначим работу А_с за период (один оборот кривошипа ) .

Момент движущих сил М_Д зависит от угловой скорости ω, однако при малых изменениях скорости можно приближённо принять М_Д = соnst.

Тогда А_Д = М_Д · φ, где 0 ≤ φ ≤ 2π.

Величина движущего момента М_Д = ( ) / 2π. (16.5)

Изменение кинетической энергии агрегата, равное избыточной работе, определится по зависимости:

Т = А_И = М_Д · φ + М_С dφ. (16.6)

Подставляя в уравнение движения (16.3) зависимости (15.7) и (16.2), после преобразований можно получить

Поэтому можно принять:

Отсюда находится в каждом положении механизма приращение кинетической энергии вращающихся масс:

Величина Т_C, периодически меняясь, достигает в каких-то положениях максимальных и минимальных значений. Соответственно, в этих положениях угловая скорость будет достигать также значений ω_max и ω_min. Используя зависимости (16.10), (16.9), (16.6), (16.1), считая приближённо

ω_ср = 0,5(ω_max + ω_min ), можно получить, что наибольший перепад кинетической энергии вращающихся масс

= — = J_С ∙ δ ∙ . (16.11)

Если при проектировании задана величина коэффициента неравномерности δ, то из зависимости (16.11) находится необходимая для этого величина J_c приведённого момента инерции вращающихся масс:

J_c = / (δ ∙ ). (16.12)

Величина J_c, получаемая из зависимости (16.12), обычно не может быть обеспечена за счёт приведённого момента инерции J_co имеющихся вращающихся масс агрегата. В этом случае на ведущем валу исполнительного механизма устанавливается маховик с моментом инерции:

Маховик (рис.16.3 ) представляет собой отбалансированное колесо, масса которого сосредоточена, в основном, на ободе. Он является аккумулятором кинетической энергии. Когда работа двигателя оказывается в избытке, маховик накапливает кинетическую энергию, которая потом используется при выполнении технологического процесса. Чем больше J_c (а следовательно, и J_М), тем выше аккумулирующая способность маховика, тем меньше будут колебания ω при колебаниях потока кинетической энергии, тем равномернее будет вращаться ведущее звена механизма.

Рис.16.3

= 0,5( + ). (16.14)

Раскрывая это уравнение, получаем

(16.15)

Представим ω = ω_ср + Δω. (16.16)

Из уравнения (16.15), используя зависимость (16.16) и принимая приближённо Δω 2 = 0, после преобразований получим:

Следует отметить, что в данных методических указаниях рассматривается решение уравнения движения для случая, когда не учитывается влияние колебаний угловой скорости на величину движущего момента двигателя.

Однако, имеются машины, в которых влияние скорости на силы и моменты достаточно сильно. К ним относятся, например, асинхронные и шунтовые двигатели, получившие большое распространение в промышленном электроприводе.

Анализ неустановившегося движения машинного агрегата.

Неустановившейся режим имеет место, когда агрегат пускают в ход и он, набирая скорость, выходит на установившейся режим, а также когда для остановки машины её двигатель отключают и она продолжает двигаться за счёт накопленного запаса кинетической энергии; при этом машина постепенно теряет скорость из-за действия сил трения или каких-либо сил сопротивления, в том числе и специальных тормозных сил (рис.17.1).

В этих случаях нужно знать, насколько быстро происходит переход из неподвижного состояния в рабочее и обратный процесс до полной остановки.

Разбег и торможение могут происходить с большим ускорением. Это вызывает значительное динамическое нагружение механизма, что, в свою очередь, может привести к перенапряжениям и даже к поломкам.

Во время разбега и выбега угловая скорость многих машин может проходить через критическую (резонансную) зону. Во избежание динамической перегрузки механизма и возможной аварии проход этой зоны должен быть достаточно быстрым, что надо обеспечить при проектировании, сделав расчёт обеих фаз неустановившегося режима.

При анализе неустановившегося режима следует использовать уравнение движения машинного агрегата в дифференциальной форме (15.9).

Оно выглядит следующим образом:

J_пр + = М_пр. (17.1)

Здесь: J_пр – приведённый к ведущему звену момент инерции всех подвижных звеньев механизма;

М_пр— приведённый момент всех учитываемых сил, действующих в агрегате.

Для определения закона движения при неустановившемся режиме должны быть известны следующие данные: кинематическая схема и размеры механизма; массы и моменты инерции звеньев; механические характеристики сил и моментов; начальные условия движения.

Рассмотрим случай работы агрегата при следующих условиях:

а) Приведённый к ведущему звену момент инерции всех подвижных звеньев механизма J_пр=const.;

б) Механическая характеристика момента движущих сил- линейна (рис.17.2) и представляется (рис.17.2) в виде:

где : М₀ – пусковой момент двигателя;

b – коэффициент, характеризующий крутизну спада характеристики;

М_Н – номинальный развиваемый момент движущих сил, соответствующий номинальной угловой скорости ω_Н;

в) Приведённый момент сил сопротивления М_С= const. (рис.17.2)

(силы трения не учитываются);

г) Предполагается, что двигатель подобран таким образом, что М_С=М_Н,

а ω_Н соответствует угловой скорости ω_уст установившегося режима работы агрегата.

Типичным примером для таких условий является работа при пуске и торможении многих грузоподъёмных устройств с приводом от шунтового двигателя постоянного тока.

В соответствии с заданными условиями уравнение (17.1) запишется в виде:

Из равенства в точке А моментов М_Д и М_С

Подставляя выражение (17.4) в уравнение движения (17.3) после преобразований получаем:

Используем табличный интеграл : ∫ =(1/b)* ln (a+bx) и

интегрируем уравнение (17.5):

С- постоянная интегрирования.

Преобразовывая уравнение (17.6), получаем уравнение движения агрегата при разгоне:

График изменения угловой скорости при разгоне представлен на рис.17.3.

Теоретически разгон продолжается бесконечно долго. Однако уже при t=3Т отношение ω/ ω_уст составит 0,95, при t=4Т оно возрастёт до 0,98, а при t=5Т до 0,995, то есть процесс разгона при t=(4-5)Т практически завершается. Отсюда следует, что если задать время разгона, то можно определить соответствующую величину J_пр, при которой процесс разгона действительно займёт заданное время.

Дата добавления: 2016-01-26 ; просмотров: 2237 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ

Источник