что показывает таблица истинности
Что показывает таблица истинности
2) Логическое сложение или дизъюнкция:
Таблица истинности для дизъюнкции
| A | B | F |
| 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 |
| 0 | 0 | 0 |
3) Логическое отрицание или инверсия:
Таблица истинности для инверсии
| A | ¬ А |
| 1 | 0 |
| 0 | 1 |
4) Логическое следование или импликация:
«A → B» истинно, если из А может следовать B.
Обозначение: F = A → B.
Таблица истинности для импликации
| A | B | F |
| 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 |
| 0 | 0 | 1 |
5) Логическая равнозначность или эквивалентность:
Таблица истинности
Что такое таблицы истинности
Таблица истинности — это таблица, описывающая логическую функцию, а именно отражающую все значения функции при всех возможных значениях её аргументов.
Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.
Для создания таблиц истинности используются обозначения логических значений 0 (ложь) и 1 (истина).
Можно встретить вариацию таблицы, в которой число столбцов равно n + число используемых логических операций. В подобной таблице в первые n столбцы, так же как и в первом варианте, вписаны наборы аргументов, а остальные столбцы заполнены значениями подфункций, которые входят в запись функции. Благодаря этим промежуточным вычислениям, упрощается расчет конечного значения функции.
Применение таблиц истинности чаще всего встречается в булевой алгебре и в цифровой электронной технике для описания работы логических схем.
Логические операции
Логические операции — построение из одного или нескольких высказываний нового высказывания.
Результатом может являться не только образование нового высказывания, но и изменение содержания или объема уже данных высказываний. В случае логической операции истинность значения нового высказывания всецело определяется истинностью значения исходных высказываний.
К логическим операциям относятся конъюнкция, дизъюнкция, импликация, разделительная дизъюнкция, эквиваленция, антиконъюнкция, антидизъюнкция.
Логические выражения
Логическое выражение — это запись, принимающая логическое значение «истина» или «ложь».
Их можно разделить на два типа:
Инверсия или логическое отрицание — это логическая операция, при выполнении которой из данного высказывания получается новое высказывание. Это высказывание является отрицанием исходного высказывания.
Унарной в данном случае называется операция, которая используется относительно одной величины.
Конъюнкция
Конъюнкция — это логическое умножение. Эта операция, для которой требуются два и более логических величины. Конъюнкция соединяет логические высказывания при помощи связки «и». Связка изображается символом ∧.
Конъюнкция может быть истинной только в том случае, если оба высказывания истинны. Например, A ∧ B, если A = ложь, а B = истина, является ложным.
Дизъюнкция
Дизъюнкция — логическое сложение. Эта логическая операция соединяет два и более высказываний с помощью связки «или». Эта связка обозначается как ∨.
Логическое высказывание будет истинным, если истинно хотя бы одно из условий. Например, A ∨ B истинно, даже если А = истина, а В = ложь. Высказывание будет ложным только в том случае, если ложны и А, и В.
Правила составления таблицы истинности
Таблицу истинности можно построить для любого логического выражения. В этой таблице будут отражены все значения, которые принимает выражение при всех наборах значений входящих в него переменных.
Строить таблицы истинности необходимо по следующему алгоритму:
Примеры построения таблицы истинности
Задача
Решение
| А | В | \(А \vee В\) | ¬А | ¬В | \(¬А \vee ¬В\) | \((A \vee B) \wedge (¬A \vee ¬B)\) |
| 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
После заполнения таблицы, ответ будет выглядеть следующим образом:
F = 0 при A = B = 0 и A = B = 1
Задача
Построим еще одну таблицу истинности и решим выражение \(F = X \vee Y \wedge ¬Z\)
Решение
| X | Y | Z | ¬ Z | \(Y \wedge ¬Z\) | \(X \vee Y \wedge ¬Z\) |
| 0 | 0 | 0 | q | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 |
После заполнения таблицы, ответ будет выглядеть следующим образом:
F = 0, при X = Y = Z = 0; при X = Y = 0 и Z = 1.
А таблица истинности это математическая таблица используется в логика- особенно в связи с Булева алгебра, логические функции, и пропозициональное исчисление- в котором излагаются функциональные ценности логических выражения по каждому из их функциональных аргументов, то есть для каждого комбинация значений, взятых их логическими переменными. [1] В частности, таблицы истинности могут использоваться, чтобы показать, истинно ли пропозициональное выражение для всех допустимых входных значений, то есть логически действительный.
В таблице истинности есть один столбец для каждой входной переменной (например, P и Q) и один последний столбец, в котором показаны все возможные результаты логической операции, которую представляет таблица (например, P XOR Q). Каждая строка таблицы истинности содержит одну возможную конфигурацию входных переменных (например, P = true Q = false) и результат операции для этих значений. См. Примеры ниже для дальнейшего пояснения. Людвиг Витгенштейн обычно приписывают изобретение и популяризацию таблицы истинности в его Логико-философский трактат, который был завершен в 1918 году и опубликован в 1921 году. [2] Такая система была также независимо предложена в 1921 г. Эмиль Леон Пост. [3] Еще более ранняя итерация таблицы истинности также была обнаружена в неопубликованных рукописях автора Чарльз Сандерс Пирс с 1893 г., опередив обе публикации почти на 30 лет. [4]
Содержание
Унарные операции
Есть 4 унарные операции:
Логическая правда
Выходное значение всегда истинно, независимо от входного значения p.
| п | Т |
|---|---|
| Т | Т |
| F | Т |
Логическая ложь
Выходное значение никогда не бывает истинным: то есть всегда ложно, независимо от входного значения p.
| п | F |
|---|---|
| Т | F |
| F | F |
Логическая идентичность
Логическая идентичность является операция на одной логическое значение p, для которого значение на выходе остается p.
Таблица истинности для оператора логической идентичности выглядит следующим образом:
| п | п |
|---|---|
| Т | Т |
| F | F |
Логическое отрицание
Логическое отрицание является операция на одной логическое значение, обычно значение предложение, что дает значение истинный если его операнд ложный и значение ложный если его операнд истинен.
Таблица истинности для НЕ п (также записывается как ¬p, Np, Fpq, или же
| п | ¬p |
|---|---|
| Т | F |
| F | Т |
Бинарные операции
Таблица истинности для всех бинарных логических операторов
Вот расширенная таблица истинности, дающая определения всех возможных функций истинности двух булевых переменных P и Q: [примечание 1]
| п | q | F 0 | НИ 1 | ↚ 2 | ¬p 3 | ↛ 4 | ¬q 5 | XOR 6 | NAND 7 | И 8 | XNOR 9 | q 10 | → 11 | п 12 | ← 13 | ИЛИ ЖЕ 14 | Т 15 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Т | Т | F | F | F | F | F | F | F | F | Т | Т | Т | Т | Т | Т | Т | Т |
| Т | F | F | F | F | F | Т | Т | Т | Т | F | F | F | F | Т | Т | Т | Т |
| F | Т | F | F | Т | Т | F | F | Т | Т | F | F | Т | Т | F | F | Т | Т |
| F | F | F | Т | F | Т | F | Т | F | Т | F | Т | F | Т | F | Т | F | Т |
| Com | ✓ | ✓ | ✓ | ✓ | ✓ | ✓ | ✓ | ✓ | |||||||||
| Assoc | ✓ | ✓ | ✓ | ✓ | ✓ | ✓ | ✓ | ✓ | |||||||||
| Adj | F 0 | НИ 1 | ↛ 4 | ¬q 5 | ↚ 2 | ¬p 3 | XOR 6 | NAND 7 | И 8 | XNOR 9 | п 12 | ← 13 | q 10 | → 11 | ИЛИ ЖЕ 14 | Т 15 | |
| Отрицательный | Т 15 | ИЛИ ЖЕ 14 | ← 13 | п 12 | → 11 | q 10 | XNOR 9 | И 8 | NAND 7 | XOR 6 | ¬q 5 | ↛ 4 | ¬p 3 | ↚ 2 | НИ 1 | F 0 | |
| Двойной | Т 15 | NAND 7 | → 11 | ¬p 3 | ← 13 | ¬q 5 | XNOR 9 | НИ 1 | ИЛИ ЖЕ 14 | XOR 6 | q 10 | ↚ 2 | п 12 | ↛ 4 | И 8 | F 0 | |
| L id | F | F | Т | Т | Т, Ж | Т | F | ||||||||||
| Избавлять | F | F | Т | Т | Т, Ж | Т | F | ||||||||||
Четыре комбинации входных значений для p, q считываются по строкам из таблицы выше. Функция вывода для каждой комбинации p, q может быть считана по строкам из таблицы.
Следующая таблица ориентирована по столбцам, а не по строкам. Здесь четыре столбца, а не четыре строки, для отображения четырех комбинаций p, q в качестве входных данных.
| [5] | оператор | Название операции | ||
|---|---|---|---|---|
| 0 | (F F F F) (p, q) | ⊥ | ложный, Opq | Противоречие |
| 1 | (F F F T) (p, q) | НИ | п ↓ q, Xpq | Логическое ИЛИ |
| 2 | (F F T F) (p, q) | ↚ | п ↚ q, Мпк | Конверс без импликации |
| 3 | (F F T T) (p, q) | ¬p, р | ¬p, Np, Fpq | Отрицание |
| 4 | (F T F F) (p, q) | ↛ | п ↛ q, Lpq | Существенное отсутствие импликации |
| 5 | (F T F T) (p, q) | ¬q, q | ¬q, Nq, Гпк | Отрицание |
| 6 | (F T T F) (p, q) | XOR | п ⊕ q, Jpq | Исключительная дизъюнкция |
| 7 | (F T T T) (p, q) | NAND | п ↑ q, Dpq | Логическая И-НЕ |
| 8 | (Т F F F) (p, q) | И | п ∧ q, КПК | Логическое соединение |
| 9 | (Т F F T) (p, q) | XNOR | п Если и только если q, Epq | Логическая двусмысленность |
| 10 | (Т Ф Т Ф) (p, q) | q | q, Hpq | Функция проекции |
| 11 | (Т Ф Т Т) (p, q) | п → q | если п тогда q, Cpq | Материальное значение |
| 12 | (Т Т F F) (p, q) | п | п, IPQ | Функция проекции |
| 13 | (Т Т Ф Т) (p, q) | п ← q | п если q, Бпк | Обратное значение |
| 14 | (Т Т Т Ф) (p, q) | ИЛИ ЖЕ | п ∨ q, Apq | Логическая дизъюнкция |
| 15 | (Т Т Т Т) (п, д) | ⊤ | истинный, Впк | Тавтология |
Логические операторы также можно визуализировать с помощью Диаграммы Венна.
Логическое соединение (И)
Логическое соединение является операция на двух логические значения, обычно значения двух предложения, что дает значение истинный если оба его операнда верны.
| п | q | п ∧ q |
|---|---|---|
| Т | Т | Т |
| Т | F | F |
| F | Т | F |
| F | F | F |
В терминах обычного языка, если оба п и q верны, то союз п ∧ q правда. Для всех остальных присвоений логических значений п и чтобы q соединение п ∧ q ложно.
Также можно сказать, что если п, тогда п ∧ q является q, иначе п ∧ q является п.
Логическая дизъюнкция (ИЛИ)
Логическая дизъюнкция является операция на двух логические значения, обычно значения двух предложения, что дает значение истинный если хотя бы один из его операндов истинен.
Таблица истинности для p ИЛИ q (также записывается как p ∨ q, Apq, p || q, или же р + д) как следует:
| п | q | п ∨ q |
|---|---|---|
| Т | Т | Т |
| Т | F | Т |
| F | Т | Т |
| F | F | F |
Указано на английском языке, если п, тогда п ∨ q является п, иначе п ∨ q является q.
Логическое следствие
Логический вывод и материальный условный оба связаны с операция на двух логические значения, обычно значения двух предложения, что дает значение ложный если первый операнд истинен, а второй операнд ложь, и значение истинный иначе.
Таблица истинности, связанная с логическим следствием p влечет q (обозначается как p ⇒ q, или реже Cpq) как следует:
| п | q | п ⇒ q |
|---|---|---|
| Т | Т | Т |
| Т | F | F |
| F | Т | Т |
| F | F | Т |
Таблица истинности, связанная с материальным условным если p, то q (обозначается как p → q) как следует:
| п | q | п → q |
|---|---|---|
| Т | Т | Т |
| Т | F | F |
| F | Т | Т |
| F | F | Т |
Также может быть полезно отметить, что p ⇒ q и p → q эквивалентны ¬p ∨ q.
Логическое равенство
Логическое равенство (также известный как двухусловный или же эксклюзивный ни) является операция на двух логические значения, обычно значения двух предложения, что дает значение истинный если оба операнда ложны или оба операнда истинны.
Таблица истинности для p XNOR q (также записывается как p ↔ q, Epq, p = q, или же p ≡ q) как следует:
| п | q | п ↔ q |
|---|---|---|
| Т | Т | Т |
| Т | F | F |
| F | Т | F |
| F | F | Т |
Итак, p EQ q истинно, если p и q имеют одинаковые значение истины (оба истинны или оба ложны) и ложь, если они имеют разные значения истинности.
Исключительная дизъюнкция
Исключительная дизъюнкция является операция на двух логические значения, обычно значения двух предложения, что дает значение истинный если один, но не оба его операнда истинны.
Таблица истинности для p XOR q (также записывается как Jpq, или же p ⊕ q) как следует:
| п | q | п ⊕ q |
|---|---|---|
| Т | Т | F |
| Т | F | Т |
| F | Т | Т |
| F | F | F |
Для двух предложений XOR также можно записать как (p ∧ ¬q) ∨ (¬p ∧ q).
Логическая И-НЕ
В логическая NAND является операция на двух логические значения, обычно значения двух предложения, что дает значение ложный если оба его операнда верны. Другими словами, он дает значение истинный если хотя бы один из его операндов ложен.
Таблица истинности для p NAND q (также записывается как п ↑ q, Dpq, или же p | q) как следует:
| п | q | п ↑ q |
|---|---|---|
| Т | Т | F |
| Т | F | Т |
| F | Т | Т |
| F | F | Т |
Часто бывает полезно выразить логическую операцию как составную операцию, то есть как операцию, построенную или составленную из других операций. Возможны многие такие композиции, в зависимости от операций, которые считаются базовыми или «примитивными», и операций, которые принимаются как составные или «производные».
В случае логического И-НЕ оно явно выражается как соединение НЕ и И.
Отрицание союза: ¬ (п ∧ q), и дизъюнкция отрицаний: (¬п) ∨ (¬q) можно представить в виде таблицы:
| п | q | п ∧ q | ¬(п ∧ q) | ¬п | ¬q | (¬п) ∨ (¬q) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Т | Т | Т | F | F | F | F |
| Т | F | F | Т | F | Т | Т |
| F | Т | F | Т | Т | F | Т |
| F | F | F | Т | Т | Т | Т |
Логическое ИЛИ
В логическое ИЛИ является операция на двух логические значения, обычно значения двух предложения, что дает значение истинный если оба его операнда ложны. Другими словами, он дает значение ложный если хотя бы один из его операндов истинен. ↓ также известен как Стрела Пирса после его изобретателя, Чарльз Сандерс Пирс, и является Единственный достаточный оператор.
Таблица истинности для p NOR q (также записывается как p ↓ q, или же Xpq) как следует:
| п | q | п ↓ q |
|---|---|---|
| Т | Т | F |
| Т | F | F |
| F | Т | F |
| F | F | Т |
Отрицание дизъюнкции ¬ (п ∨ q), и соединение отрицаний (¬п) ∧ (¬q) можно представить в виде таблицы:
| п | q | п ∨ q | ¬(п ∨ q) | ¬п | ¬q | (¬п) ∧ (¬q) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Т | Т | Т | F | F | F | F |
| Т | F | Т | F | F | Т | F |
| F | Т | Т | F | Т | F | F |
| F | F | F | Т | Т | Т | Т |
Проверка табличных выводов для NAND и NOR при каждом присвоении логических значений функциональным аргументам п и q, производит идентичные образцы функциональных значений для ¬ (п ∧ q) как для (¬п) ∨ (¬q), а для ¬ (п ∨ q) как для (¬п) ∧ (¬q). Таким образом, первое и второе выражения в каждой паре логически эквивалентны и могут заменять друг друга во всех контекстах, которые относятся исключительно к их логическим значениям.
Приложения
Таблицы истинности могут использоваться для доказательства многих других логические эквивалентности. Например, рассмотрим следующую таблицу истинности:
Таблица истинности для наиболее часто используемых логических операторов
Вот таблица истинности, которая дает определения 6 наиболее часто используемых из 16 возможных функций истинности двух булевых переменных P и Q:
Сжатые таблицы истинности для бинарных операторов
Для бинарных операторов также используется сжатая форма таблицы истинности, где заголовки строк и столбцов определяют операнды, а ячейки таблицы определяют результат. Например, Логическая логика использует это сокращенное обозначение таблицы истинности:
|
|
Таблицы истинности в цифровой логике
Таблицы истинности также используются для определения функции справочные таблицы оборудования (LUT) в цифровая логическая схема. Для n-входной LUT таблица истинности будет иметь 2 ^п значения (или строки в указанном выше табличном формате), полностью определяя логическую функцию для LUT. Представляя каждое логическое значение как кусочек в двоичное число, значения таблицы истинности могут быть эффективно закодированы как целое число ценности в автоматизация проектирования электроники (EDA) программного обеспечения. Например, 32-битное целое число может кодировать таблицу истинности для LUT с максимум 5 входами.
Применение таблиц истинности в цифровой электронике
В цифровой электронике и информатике (области прикладной логической инженерии и математики) таблицы истинности могут использоваться для сведения базовых логических операций к простым корреляциям входов и выходов без использования логические ворота или код. Например, двоичное сложение может быть представлено таблицей истинности:
Эта таблица истинности читается слева направо:
Обратите внимание, что эта таблица не описывает логические операции, необходимые для реализации этой операции, а просто определяет функцию входов для выходных значений.
Что касается результата, этот пример можно арифметически рассматривать как двоичное сложение по модулю 2 и как логически эквивалентный бинарной логической операции «исключающее ИЛИ» (исключительное дизъюнкция).
В этом случае его можно использовать только для очень простых входов и выходов, таких как 1 и 0. Однако, если количество типов значений, которые можно иметь на входах, увеличивается, размер таблицы истинности увеличивается.
Например, в операции сложения нужно два операнда, A и B. Каждый может иметь одно из двух значений, ноль или один. Количество комбинаций этих двух значений равно 2 × 2 или четырем. Таким образом, результатом является четыре возможных выхода C и R. Если использовать базу 3, размер увеличится до 3 × 3, или девяти возможных выходов.
История
Исследование Ирвинга Анеллиса показывает, что К.С. Пирс по-видимому, был первым логиком (в 1893 г.), который изобрел матрицу таблицы истинности. [4] [6] Из резюме его статьи:
В 1997 году Джон Шоски обнаружил на оборотная сторона страницы распечатанной стенограммы Бертран РасселЛекция 1912 года по матрицам таблицы истинности «Философия логического атомизма». Матрица отрицания принадлежит Расселу, рядом с ней находится матрица материального подтекста, созданная Людвигом Витгенштейном. Показано, что неопубликованная рукопись, идентифицированная как составленная Пирсом в 1893 году, включает матрицу таблицы истинности, которая эквивалентна матрице материального значения, обнаруженной Джоном Шоски. Неопубликованная рукопись Пирса, которая, как было установлено, была написана в 1883–1884 годах в связи с сочинением книги Пирса «Об алгебре логики: вклад в философию нотации», появившейся в Американский журнал математики в 1885 году включает пример косвенной таблицы истинности для условного.