что представляет собой график функции y kx

Функция « y = kx » и её график

Прежде чем перейти к изучению функции « y = kx » внимательно изучите урок
«Что такое функция в математике» и «Как решать задачи на функцию».

Функция « y = kx » — это первый тип функции, который изучается в математике.

На месте « k » может стоять любое число (положительное, отрицательное или дробь).

Другими словами, можно сказать, что « y = kx » — это семейство всевозможных функций, где вместо « k » стоит число.

Примеры функций вида « y = kx ».

Как построить график функции « y = kx »

Из геометрии вспомним аксиому (утверждение, которое не требует доказательства), что через любые две точки можно провести прямую и притом только одну.

Исходя из этой аксиомы, что чтобы построить график функции вида « у = kx » нам будет достаточно найти всего две точки.

Для примера построим график функции « y = −4x ».

Найдем значение функции « y » для двух произвольных значений « x ». Подставим, например, вместо « x » числа « 0 » и « 1 ».

Выбирая произвольные числовые значения вместо « x », лучше брать числа « 0 » и « 1 ». С этими числами легко выполнять расчеты.

Полученные значения « x » и « y » — это координаты точек графика
функции « y = −4x ».

Запишем полученные координаты точек « y = −4x » в таблицу.

Отметим полученные точки на системе координат.

Теперь проведем прямую через отмеченные точки. Эта прямая и будет являться графиком функции « y = −4x ».

После построения не забудьте подписать график функции.

Как решать задачи на функцию « y = kx »

Построить график функции « y = −1,5x ». Найти по графику:

Вначале построим график функции « y = −1,5x ».

Используем правила, по которым мы строили график функции выше. Для построения графика функции « y = −1,5x » достаточно найти всего две точки.

Выберем два произвольных числовых значения для « x ». Для удобства расчетов выберем числа « 0 » и « 1 ».

Выполним расчеты и запишем их результаты в таблицу.

Отметим полученные точки на прямоугольной системе координат.

Соединим полученные точки прямой. Проведенная прямая будет являться графиком функции « y = −1,5x ».

Теперь работаем с построенным графиком функции « y = −1,5x ».

Тему «Как получить координаты точки функции» с графика функции мы уже подробно рассматривали в уроке «Как решать задачи на функцию».

В этому уроке для решения задачи выше вспомним только основные моменты.

Чтобы найти значение « y » по известному значению « x » на графике функции необходимо:

Запишем полученные результаты в таблицу.

Выполним те же действия, что и при решении предыдущего задания. Разница будет лишь в том, что изначально мы будем проводить перпендикуляры
от оси « Oy ».

Запишем полученные результаты в таблицу.

Перейдем к последнему заданию. Нас просят найти несколько целых значений « x », при которых значения « y » положительны (отрицательны).

Для решения этой задачи необходимо внимательно изучить
график функции « y = −1,5x ».

Отметим область на оси « Oy », где значения « y » для графика функции « y = −1,5x » положительны.

Помните, что по заданию, нас просят найти несколько «целых» значений « x ». Поэтому перпендикуляры мы будем проводить к оси « Ox » в целые числовые значения.

Теперь найдем при каких « x », значения « y » отрицательны. Отметим область на оси « Oy », где значения « y » на графике функции отрицательны.

Проведем перпендикуляры из отмеченной области к оси « Ox » в целые числовые значения « x ».

Рассмотрим другую задачу.

Подробный разбор задачи «Как проверить, что точка принадлежит графику функции» мы приводили в уроке «Как решать задачи на функцию».

В этом уроке мы вспомним только основные моменты решения подобных задач.

Чтобы проверить принадлежность точки графику функции нет необходимости строить график функции.

Достаточно подставить координаты точки в формулу функции (координату по оси « Ox » вместо « x », а координату по оси « Oy » вместо « y ») и выполнить арифметические расчеты.

Источник

График линейной функции, его свойства и формулы

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Понятие функции

Функция — это зависимость «y» от «x», где «x» является переменной или аргументом функции, а «y» — зависимой переменной или значением функции.

Задать функцию значит определить правило, в соответствии с которым по значениям независимой переменной можно найти соответствующие ее значения. Вот, какими способами ее можно задать:

График функции — это объединение всех точек, когда вместо «x» можно подставить произвольные значения и найти координаты этих точек.

Понятие линейной функции

Линейная функция — это функция вида y = kx + b, где х — независимая переменная, k, b — некоторые числа. При этом k — угловой коэффициент, b — свободный коэффициент.

Геометрический смысл коэффициента b — длина отрезка, который отсекает прямая по оси OY, считая от начала координат.

Геометрический смысл коэффициента k — угол наклона прямой к положительному направлению оси OX, считается против часовой стрелки.

Если известно конкретное значение х, можно вычислить соответствующее значение у.

Для удобства результаты можно оформлять в виде таблицы:

Графиком линейной функции является прямая линия. Для его построения достаточно двух точек, координаты которых удовлетворяют уравнению функции.

Угловой коэффициент отвечает за угол наклона прямой, свободный коэффициент — за точку пересечения графика с осью ординат.

Буквенные множители «k» и «b» — это числовые коэффициенты функции. На их месте могут стоять любые числа: положительные, отрицательные или дроби.

Давайте потренируемся и определим для каждой функций, чему равны числовые коэффициенты «k» и «b».

Может показаться, что в функции «y = 0,2x» нет числового коэффициента «b», но это не так. В данном случае он равен нулю. Чтобы не поддаваться сомнениям, нужно запомнить: в каждой функции типа «y = kx + b» есть коэффициенты «k» и «b».

Еще не устали? Изучать математику веселее с опытным преподавателем на курсах по математике в Skysmart!

Свойства линейной функции

Построение линейной функции

В геометрии есть аксиома: через любые две точки можно провести прямую и притом только одну. Исходя из этой аксиомы следует: чтобы построить график функции вида «у = kx + b», достаточно найти всего две точки. А для этого нужно определить два значения х, подставить их в уравнение функции и вычислить соответствующие значения y.

Например, чтобы построить график функции y = 1 /₃x + 2, можно взять х = 0 и х = 3, тогда ординаты этих точек будут равны у = 2 и у = 3. Получим точки А (0; 2) и В (3; 3). Соединим их и получим такой график:

В уравнении функции y = kx + b коэффициент k отвечает за наклон графика функции:

Проанализируем рисунок. Все графики наклонены вправо, потому что во всех функциях коэффициент k больше нуля. Причем, чем больше значение k, тем круче идет прямая.

В каждой функции b = 3, поэтому все графики пересекают ось OY в точке (0; 3).

В этот раз во всех функциях коэффициент k меньше нуля, и графики функций наклонены влево. Чем больше k, тем круче идет прямая.

Коэффициент b равен трем, и графики также пересекают ось OY в точке (0; 3).

Теперь во всех уравнениях функций коэффициенты k равны. Получили три параллельные прямые.

При этом коэффициенты b различны, и эти графики пересекают ось OY в различных точках:

Прямые будут параллельными тогда, когда у них совпадают угловые коэффициенты.

Подытожим. Если мы знаем знаки коэффициентов k и b, то можем представить, как выглядит график функции y = kx + b.

Если k 0, то график функции y = kx + b выглядит так:

0″ src=»https://user84060.clients-cdnnow.ru/uploads/5fc1049363f94987951092.png» style=»height: 600px;»>

Если k > 0 и b > 0, то график функции y = kx + b выглядит так:

0 и b > 0″ src=»https://user84060.clients-cdnnow.ru/uploads/5fc104b2640e6151326286.png» style=»height: 600px;»>

Точки пересечения графика функции y = kx + b с осями координат:

Решение задач на линейную функцию

Чтобы решать задачи и строить графики линейных функций, нужно рассуждать и использовать свойства и правила выше. Давайте потренируемся!

Пример 2. Написать уравнение прямой, которая проходит через точки A (1; 1); B (2; 4).

Источник

Алгебра. 8 класс

Тема: График функции y = kx

Содержание модуля (краткое изложение модуля):

Изучим график функции y = kx. Обратим внимание на то, как меняется положение графика в зависимости от коэффициента k? Пусть k = 2, получим функцию y = 2x.
Рассмотрим график функции y = 2x.
Графиком функции y = kx, где k – некоторое число, является прямая, проходящая через начало координат.
Зная, что график функции y = kx – прямая, можно его построить, не составляя подробной таблицы. Достаточно знать две точки прямой.
Одна из них начало координат, а вторая выбирается произвольно, например, точка B (2; 4). Через эти две точки проводится прямая.
Зависит ли расположение графика от коэффициента k? Построим график функции y = –2x. Возьмём две точки: О (0; 0) и В (1; –2) и проведем прямую.
Сравним графики функций y = 2x и y = –2x.
Можно заметить, что при положительном значении k график функции y = kx расположен в I и III, а при отрицательном значении k – во II и IV координатных четвертях.
При k = 0 значения функции y = 0•x при всех значениях x равны 0, значит, график этой функции совпадает с осью абсцисс.
От коэффициента k зависит угол, образованный в верхней полуплоскости графиком функции y = kx и полупрямой Ox. Коэффициент k называют угловым коэффициентом прямой y = kx.

Алгебра. 8 класс: учеб. для общеобразоват. организаций / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. – 6-е изд. – М.: Просвещение, 2017.

НАШИ ПАРТНЁРЫ

© Государственная образовательная платформа «Российская электронная школа»

Источник

Общие сведения

Функцией называется некоторая зависимость переменных друг от друга. В некоторых случаях неизвестные величины могут быть выражены системой конкретных значений, интервалами, а также другими функциональными выражениями. Последний класс называется сложным или составным. Различают зависимые и независимые переменные (аргументы). Второй тип может принимать любые значения, кроме тех, которые превращают выражение в неопределенность.

Однако аргументы необходимо также обследовать, поскольку они могут обратить тождество в пустое множество. Одним из таких примеров является функция у = к / х. Ее аргумент x может принимать любые значения, кроме 0. Именно это число превращает уравнение в неопределенность, поскольку в математике существует следующее правило: запрещается делить на 0.

Следует отметить, что существует функция y = k/x и ее график — кривая, имеющая название гипербола. Многие путают его с параболой (в степени 2). Однако она является квадратичной. График строится в системе координат, которая называется декартовой. Кроме того, в математике встречается еще одно уравнение вида y = кх. Ее графиком является прямая.

Прямоугольная система координат

В математике существуют специальные инструменты для построения графиков функций. Одним из них считается распространенная прямоугольная система координат. Она может быть на плоскости и в пространстве. Поскольку y = k/x и y = kx являются элементарными, то для иллюстрации их графиков используется однородная прямоугольная декартовая система координат (рис. 1), элементом которой является точка.

Для декартовой системы на плоскости имеется только две координаты: по взаимно перпендикулярным осям ординат (ОУ) и абсцисс (ОХ). Они пересекаются в некоторой точке О, которая называется началом координат.

Рисунок 1. Прямоугольная декартова система координат (ДСК).

При указании координат нужно учитывать четверть. От нее зависит знак. Оси ординат (игрек) и абсцисс (икс) делят систему на четыре четверти. Они обозначаются римскими цифрами (рис. 1) и имеют такие свойства:

Когда к 0 при отрицательных значениях аргумента, а y 0. Функция y = kx обладает такими свойствами (k > 0):

Источник

Линейная функция, ее свойства и график

теория по математике 📈 функции

Функция, заданная формулой y=kx+b, где х – переменная, k и b – некоторые числа, называется линейной функцией. Переменную х называют независимой переменной, переменную у – зависимой переменной.

Графиком линейной функции является прямая. Для построения прямой достаточно взять два значения х, чтобы получить два значения у и, соответственно, две точки, через которые проходит единственная прямая.

Число k называется угловым коэффициентом прямой.

Свойства линейной функции

Рассмотрим на примерах расположение прямых в координатной плоскости в зависимости от значения чисел k и b.

Пример №1

Построить график функции у=2х – 1. Для того, чтобы удобнее было выполнять вычисления, построение и т.д. сделаем таблицу для значений х и у:

Для построения графика подбираем два значения х, одно из них желательно брать равное нулю, второе, например 3 (подбираем небольшие числа).

Теперь подставляем значения х в формулу и вычисляем соответствующие значения у:

Вписываем в таблицу значения у:

Теперь строим систему координат, отмечаем в ней точки с координатами А(0; –1) и В(3;5),

Итак, по формуле мы видим, что угловой коэффициент — положительный, значит, график – возрастает, что мы и видим на нашем графике.

Пример №2.

Построить график функции у= –3х+4. Итак, делаем таблицу на два значения, например, возьмем 0 и 2.

По формуле видим, что угловой коэффициент отрицательный, значит, прямая будет убывать. Строим убывающую прямую в системе координат через две точки А(0;4) и В(2; –2).

Пример №3

Построить график функции у=4. Видим, что в данном случае число х=0, значит, прямая будет проходить через точку с координатой (0;4) параллельно оси х. На графике это выглядит следующим образом:

Построить график функции у=3х. Данная функция является частным случаем, когда прямая проходит через начало координат. Поэтому в данном случае можно взять устно одно значение х, например 2, тогда у получим равный 6. Таким образом, имеем две точки (2;6) и (0;0). Строим их в системе координат и проводим через них прямую, которая будет возрастать, так как угловой коэффициент равен 3, т.е. положительный.

На рисунках изображены графики функций вида y=kx+b. Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов k и b.

ассмотрим коэффициенты под №3. Если k 90 0 ) угол с положит.направлением оси абсцисс (Ох). Если b 0. Это соответствует оставшимся графикам А и Б, т.к. они оба наклонены к положительно направлению оси Оx под острым углом ( 0 ). Следовательно, выбор соответствия должен быть выполнен по коэффициенту b.

В 1-й паре коэффициентов b 0, что соответствует графику А, который пересекает ось Оу выше начала координат. Это подтверждает, что и оставшаяся пара А–2 тоже верна.

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Установите соответствие между функциями и их графиками.

Функция представляет собой линейную зависимость, а именно уравнение первого порядка вида:

График данной функции зависит от k и b.

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Источник