Что изучает алгебра логики
Алгебра логики
Законы алгебры логики
Алгебра логики это раздел математической логики, изучающий высказывания, рассматриваемые со стороны их логических значений (истинности или ложности), и логические операции над ними.
В алгебре логики принято отождествлять истинность высказывания с числом 1, а ложность — с числом 0 (А = 1 и С = 0 означает, что А истинно и что С ложно).
Что изучает алгебра логики?
Предметом изучения алгебры логики являются функции которые принимают лишь два значения: 0 или 1. Объединение простых высказываний в сложные в алгебре логики производится без учёта внутреннего содержания (смысла) этих высказываний.
К основным логическим операциям относятся операции: отрицания, логического умножения, или конъюнкции, логического сложения, или дизъюнкции, эквивалентности, импликации.
Любое сложное выражение, полученное из простых высказываний посредством основных логических операции, называется формулой алгебры логики.
Где используется алгебра логики?
Использование аппарата алгебры логики в теории устройств дискретного действия основано на том, что элементы этих устройств являются двух позиционными приборами, т. е. приборами, которые по условиям работы могут находиться лишь в одном из двух различных устойчивых состояний, например «контакт замкнут», «транзистор открыт».
Конъюнкция такого рода высказываний будет тогда средством выражения последовательного соединения элементов, а дизъюнкция — их параллельного соединения. На этом основана возможность применять средства алгебры логики к задачам анализа и синтеза переключателей схем. Алгебра логики используется в теории релейных схем, теории ЭВМ и в теории дискретных автоматов.
Информатика не может существовать без такого важного раздела математики, который называется алгеброй логики. В данной статье будет рассказана основополагающая информация по данной теме, обозначены её главные правила и законы.
Что такое алгебра и алгебра логики
Алгебра — это раздел математики, который обобщенно можно охарактеризовать, как расширение и обобщение арифметики.
Алгебра логики — это раздел математической логики, который исследует операции над высказываниями.
Законы алгебры логики
Имеется большое количество правил в данной сфере деятельности, но сегодня будет рассмотрено несколько основных.
Основные законы алгебры логики представлены в таблице:
Логические выражения
В информатике предоставляется два вида высказываний: простое и сложное.
Простое — это утверждение, которое обычно обозначается в виде предложения и про него можно сказать — ложное оно или истинное.
Нью-Йорк — столица США (ложное);
в России 1117 городов (верное).
Сложное высказывание обозначает некий набор простых утверждений, которые связаны логическими процессами.
Идёт дождь, а у меня нет зонта.
Основные логические операции
Логические процессы подразделяются на несколько классов. Рассмотрим их последовательно.
Логическое отрицание (инверсия) —НЕ
Таблица истинности инверсии:
Результаты операции НЕ следующие:
если исходное выражение истинно, то результат его отрицания будет ложным;
если исходное выражение ложно, то результат его отрицания будет истинным.
Логическое сложение (дизъюнкция, объединение) — ИЛИ
Понятие «Логическое ИЛИ» также можно заменить понятием «Дизъюнкция». Данная операция обозначается знаками — ИЛИ, OR, ||, |.
Но есть небольшое отличие: в «Логическом И» результат отрицания равен единице, если оба обозначения равны единице, а в «Логическом ИЛИ» итог равен единице, если одно из обозначений равно единице.
Таблица истинности операции ИЛИ:
Логическое умножение(конъюнкция) — И
В истории данная операция также обозначается как логическое умножение и конъюнкция. Данная операция обозначается элементами — И, AND, &&, &.
За объект описания возьмём А и В. Оба данных выражения могут иметь или неверное значение, или правдивое значение. Для применения операции логическое умножение, и А, и В должны является истинными (то есть равными единице).
При всех остальных значениях операция будет ложной.
Таблица истинности операции И приведена ниже:
Логическое следование (импликация) — ЕСЛИ ТО
Данная программа имеет также название «Импликация». Она образуется из двух высказываний, которые соединяет: «если. то».
Необходимо запомнить, что данная операция ложна только тогда, когда из первого ложного утверждения следует ложный итог. На компьютерном языке данный процесс обозначается формулой: if. then.
Таблица истинности операции ЕСЛИ ТО выглядит так:
Данная операция определяется так: сложное высказывание будет истинно тогда и только тогда, когда и А, и В — истинные.
И наоборот: сложное высказывание будет ложным тогда и только тогда, когда и А, и В — ложные.
Таблица истинности операции эквивалентности:
Общие теоретические сведения
Основные понятия алгебры логики
Логической основой компьютера является алгебра логики, которая рассматривает логические операции над высказываниями.
Алгебра логики – это раздел математики, изучающий высказывания, рассматриваемые со стороны их логических значений (истинности или ложности) и логических операций над ними.
Логическое высказывание – это любое повествовательное предложение, в отношении которого можно однозначно сказать, истинно оно или ложно.
Пример. «3 – простое число» является высказыванием, поскольку оно истинно.
Не всякое предложение является логическим высказыванием.
Пример. предложение «Давайте пойдем в кино» не является высказыванием. Вопросительные и побудительные предложения высказываниями не являются.
Высказывательная форма – это повествовательное предложение, которое прямо или косвенно содержит хотя бы одну переменную и становится высказыванием, когда все переменные замещаются своими значениями.
Алгебра логики рассматривает любое высказывание только с одной точки зрения – является ли оно истинным или ложным. Слова и словосочетания «не», «и», «или», «если. то», «тогда и только тогда» и другие позволяют из уже заданных высказываний строить новые высказывания. Такие слова и словосочетания называются логическими связками.
Высказывания, образованные из других высказываний с помощью логических связок, называются составными (сложными). Высказывания, которые не являются составными, называются элементарными (простыми).
Истинность или ложность составных высказываний зависит от истинности или ложности элементарных высказываний, из которых они состоят.
Чтобы обращаться к логическим высказываниям, им назначают имена.
Пример. Обозначим через А простое высказывание «число 6 делится на 2», а через В простое высказывание «число 6 делится на 3». Тогда составное высказывание «Число 6 делится на 2, и число 6 делится на 3» можно записать как «А и В». Здесь «и» – логическая связка, А, В – логические переменные, которые могут принимать только два значения – «истина» или «ложь», обозначаемые, соответственно, «1» и «0».
Каждая логическая связка рассматривается как операция над логическими высказываниями и имеет свое название и обозначение (табл. 1).
Таблица 1. Основные логические операции
Конъюнкция (логическое умножение)
Дизъюнкция (логическое сложение)
Тогда и только тогда
Исключающее ИЛИ (сложение по модулю 2)
НЕ Операция, выражаемая словом «не», называется отрицанием и обозначается чертой над высказыванием (или знаком ). Высказывание А истинно, когда A ложно, и ложно, когда A истинно.
Пример. Пусть А=«Сегодня пасмурно», тогда А=«Сегодня не пасмурно».
И Операция, выражаемая связкой «и», называется конъюнкцией (лат. conjunctio – соединение) или логическим умножением и обозначается точкой « • » (может также обозначаться знаками или &). Высказывание А • В истинно тогда и только тогда, когда оба высказывания А и В истинны.
ИЛИ Операция, выражаемая связкой «или» (в неисключающем смысле этого слова), называется дизъюнкцией (лат. disjunctio – разделение) или логическим сложением.
Пример. Высказывание «если студент сдал все экзамены на «отлично», то он получит стипендию». Очевидно, эту импликацию следует признать ложной лишь в том случае, когда студент сдал на «отлично» все экзамены, но стипендии не получил. В остальных случаях, когда не все экзамены сданы на «отлично» и стипендия получена (например, в силу того, что студент проживает в малообеспеченной семье) либо когда экзамены вообще не сданы и о стипендии не может быть и речи, импликацию можно признать истинной.
РАВНОСИЛЬНО Операция, выражаемая связками «тогда и только тогда», «необходимо и достаточно», «. равносильно …», называется эквиваленцией или двойной импликацией и обозначается знаком ↔ или
. Высказывание А↔В истинно тогда и только тогда, когда значения А и В совпадают.
Пример. Высказывание «Число 6 либо нечетно либо делится без остатка на 2» является истинным, а высказывание «Либо число 6 четно либо число 6 делится на 3» – ложно, так как истинны оба высказывания входящие в него.
Вывод. Операций отрицания, дизъюнкции и конъюнкции достаточно, чтобы описывать и обрабатывать логические высказывания.
Порядок выполнения логических операций задается круглыми скобками. Но для уменьшения числа скобок договорились считать, что сначала выполняется операция отрицания («не»), затем конъюнкция («и»), после конъюнкции – дизъюнкция («или») и исключающего или и в последнюю очередь – импликация и эквиваленция.
С помощью логических переменных и символов логических операций любое высказывание можно формализовать, то есть заменить логической формулой (логическим выражением).
Значения логической функции для разных сочетаний значений входных переменных – или, как это иначе называют, наборов входных переменных – обычно задаются специальной таблицей. Такая таблица называется таблицей истинности.
Алгоритм построения таблиц истинности для сложных выражений:
Примечание: И–НЕ называют также «штрих Шеффера» (обозначают | ) или «антиконъюнкция»; ИЛИ–НЕ называют также «стрелка Пирса» (обозначают ↓) или «антидизъюнкция».
Существует три базовых логических элемента, которые реализуют три основные логические операции:
Поскольку любая логическая операция может быть представлена в виде комбинации трех основных, любые устройства компьютера, производящие обработку или хранение информации, могут быть собраны из базовых логических элементов, как из “кирпичиков”.
Логические элементы компьютера оперируют с сигналами, представляющими собой электрические импульсы. Есть импульс – логический смысл сигнала – 1, нет импульса – 0. На входы логического элемента поступают сигналы-значения аргументов, на выходе появляется сигнал-значение функции.
Преобразование сигнала логическим элементом задается таблицей состояний, которая фактически является таблицей истинности, соответствующей логической функции, только представлена в форме логических схем. В такой форме удобно изображать цепочки логических операций и производить их вычисления.
Алгебра логики
Полезное
Смотреть что такое «Алгебра логики» в других словарях:
АЛГЕБРА ЛОГИКИ — система алгебраич. методов решения логич. задач, а также совокупность задач, решаемых такими методами. А. л. в узком смысле слова алгебраич. (табличное, матричное) построение классич. логики высказываний, в котором рассматриваются… … Философская энциклопедия
алгебра логики — АЛГЕБРА ЛОГИКИ исторически первая форма математической (символической) логики, сложившаяся к последней трети 19 в. К ее созданию привела аналогия между решением алгебраических уравнений и выводом следствий из посылок, а также то, что… … Энциклопедия эпистемологии и философии науки
алгебра логики — булева алгебра — [Л.Г.Суменко. Англо русский словарь по информационным технологиям. М.: ГП ЦНИИС, 2003.] Тематики информационные технологии в целом Синонимы булева алгебра EN logical algebra … Справочник технического переводчика
АЛГЕБРА ЛОГИКИ — система алгебраических методов решения логических задач и совокупность таких задач; в узком смысле табличное, матричное построение логики высказываний, определяющее логические операции над ними … Большой Энциклопедический словарь
АЛГЕБРА ЛОГИКИ — раздел математической логики, изучающий строение сложных логических высказываний и способы установления их истинности с помощью алгебраических методов. В формулах А. л. переменные являются логическими или двоичными, т. е. принимающими только два… … Большая политехническая энциклопедия
Алгебра логики — Не следует путать с булевой алгеброй. Алгебра логики (алгебра высказываний) раздел математической логики, в котором изучаются логические операции над высказываниями[1]. Чаще всего предполагается (т. н. бинарная или двоичная логика, в… … Википедия
алгебра логики — система алгебраических методов решения логических задач и совокупность таких задач. * * * АЛГЕБРА ЛОГИКИ АЛГЕБРА ЛОГИКИ, система алгебраических методов решения логических задач и совокупность таких задач; в узком смысле табличное, матричное… … Энциклопедический словарь
алгебра логики — logikos algebra statusas T sritis automatika atitikmenys: angl. algebra of logic vok. Algebra der Logik, f; logische Algebra, f rus. алгебра логики, f pranc. algèbre logique, f … Automatikos terminų žodynas
АЛГЕБРА ЛОГИКИ — раздел математической логики, изучающий высказывания, рассматриваемые со стороны их логич. значений (истинности пли ложности), и логич. операций над ними. А. л. возникла в сер. 19 в. в трудах Дж. Буля (см. [1], [2]) и развилась затем в работах Ч … Математическая энциклопедия
АЛГЕБРА ЛОГИКИ — раздел матем. логики, изучающий высказывания, рассматриваемые со стороны их логич. значений (истинности или ложности), и логич. операции над ними. В А. л. принято отождествлять истинность высказывания с числом 1, а ложность с числом О (А = 1 и С … Большой энциклопедический политехнический словарь
Что изучает алгебра логики
Изучить презентацию к этому уроку!
Логика – наука о законах и формах мышления.
Высказывание (суждение) – некоторое предложение, которое может быть истинно (верно) или ложно. (Сегодня хорошая погода.)
Утверждение – суждение, которое требуется доказать или опровергнуть. (Диагонали квадрата перпендикулярны.)
Рассуждение – цепочка высказываний или утверждений, определенным образом связанных друг с другом. (Если хотите выпить чаю, то его нужно сначала заварить.)
Умозаключение – логическая операция, в результате которой из одного или нескольких данных суждений получается (выводится) новое суждение. (У геометрической фигуры три угла, один угол прямой. Значит эта фигура – прямоугольный треугольник.)
Область знаний, которая изучает истинность или ложность высказываний (суждений), называется математической логикой. Утверждения в математической логике называются логическими выражениями.
Подобно тому, как для описания действий над переменными величинами был разработан раздел математики – алгебра, так и для обработки логических выражений в математической логике была создана алгебра высказываний, или алгебра логики. Поскольку основы такой алгебры были заложены в трудах английского математика Джорджа Буля ( XIX век), то алгебра логики получила также название булевой алгебры.
Логические выражения. Логические операции
Логические выражения могут быть простыми и сложными. В основе логики работы компьютера, как правило, лежит преобразование сложных логических выражений. Рассмотрим основные логические операции.
Конъюнкцией называется логическая операция, ставящая в соответствие двум простым логическим выражениям новое – сложное логическое выражение, которое будет истинным тогда и только тогда, когда истинны оба исходных (простых) логических выражения.